作业帮一道几何题目,伤了我好多脑细胞哦已知任意三角形ABC,作AD垂直于BC,O为AD上任意点,连接BO延长交AC于F点,连接CO延长交AB于E点,连接DE、DF,求证∠ ADE= ∠ ADF.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:00:41
一道几何题目,伤了我好多脑细胞哦已知任意三角形ABC,作AD垂直于BC,O为AD上任意点,连接BO延长交AC于F点,连接CO延长交AB于E点,连接DE、DF,求证∠ ADE= ∠ ADF.
一道几何题目,伤了我好多脑细胞哦
已知任意三角形ABC,作AD垂直于BC,O为AD上任意点,连接BO延长交AC于F点,连接CO延长交AB于E点,连接DE、DF,求证∠ ADE= ∠ ADF.
一道几何题目,伤了我好多脑细胞哦已知任意三角形ABC,作AD垂直于BC,O为AD上任意点,连接BO延长交AC于F点,连接CO延长交AB于E点,连接DE、DF,求证∠ ADE= ∠ ADF.
证明：构造坐标系,以D(0,0)为原点,A(0,a）,O(0,m),B(-b,0),C(c,0)
LAC:cy+ax=ac,LBF:by-mx=bm,kDF=(amb+acm)/(abc-bcm)
LAB:by-ax=ab,LCE:cy+mx=cm,kCE=-(amb+acm)/(abc-bcm)
kDF=-kCE,所以∠ ADE= ∠ ADF
证毕；
（注：这里求kDF,kCE有个技巧,不用求E,F坐标,只需求y/x即可）
（AE/EB） *（BD/DC） *（CF/AF）=1
(这个定理用面积法证)
变换一下，即（AE/AF） *（BD/EB） *（CF/CD）=1
BD/EB=SIN∠ BED/SIN∠ BDE
CF/CD=SIN∠ CDF/SIN∠ CFD
故BD/EB * CF/CD=SIN∠ BED/SIN∠ BDE * SIN∠ CDF/SIN∠ CFD
全部展开
（AE/EB） *（BD/DC） *（CF/AF）=1
(这个定理用面积法证)
变换一下，即（AE/AF） *（BD/EB） *（CF/CD）=1
BD/EB=SIN∠ BED/SIN∠ BDE
CF/CD=SIN∠ CDF/SIN∠ CFD
故BD/EB * CF/CD=SIN∠ BED/SIN∠ BDE * SIN∠ CDF/SIN∠ CFD
=SIN∠ BED/SIN∠ CFD * SIN∠ CDF/SIN∠ BDE
而SIN∠ BED/SIN∠ CFD=SIN∠ AED/SIN∠ AFD
故BD/EB * CF/CD=SIN∠ AED/SIN∠ AFD * SIN∠ CDF/SIN∠ BDE
且AE/AD=SIN∠ ADE/SIN∠ AED,AF/AD=SIN∠ ADF/SIN∠ AFD
有AE/AF=SIN∠ ADE/SIN∠ AED / SIN∠ ADF/SIN∠ AFD
=SIN∠ ADE/ SIN∠ ADF * SIN∠ AFD/SIN∠ AED
所以 （AE/AF） *（BD/EB） *（CF/CD）=
SIN∠ CDF/SIN∠ BDE * SIN∠ ADE/ SIN∠ ADF=1
由于SIN∠ BDE=COS∠ ADE,SIN∠ CDF=COS∠ ADF
所以有tan∠ ADE=tan∠ ADF
所以∠ ADE=∠ ADF
收起
做EM⊥BC与M,做FN⊥BC于N; ∵AD⊥BC; ∴EM//AD//FN; ∴EM/AD=BM/BD=(BD-DM)/BD;=1-DM/BD FN/AD=CN/CD; EM/FN=BM*CD/BD*CN EM/OD=CM/CD FN/OD=BN/BD; EM/FN=CM*BD/BN*CD; BM*CD/BD*CN=CM*BD/BN*CD=EM/FN;; (BD*CD-DM*CD)/(BD*CD-BD*DN)=(CD*BD+DM*BD)/(BD*CD+CD*DN)=EM/FN DM*(BD+CD)/DN(BD+CD)=DM/DN=EM/FN; ∵EM⊥BC;FN⊥BC ∴∠EMD=∠FND=90°； ∴△EMD∽△FND; ∴∠EDM=∠FDN; ∴∠ADE=90-∠EDM=90-∠FND=∠ADF