命题函数f(x)=sin(ωx+Φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是Φ=kπ+π/2(k∈Z)是真命题,为什么

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 04:37:04
命题函数f(x)=sin(ωx+Φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是Φ=kπ+π/2(k∈Z)是真命题,为什么

命题函数f(x)=sin(ωx+Φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是Φ=kπ+π/2(k∈Z)是真命题,为什么
命题函数f(x)=sin(ωx+Φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是Φ=kπ+π/2(k∈Z)是真命题,为什么

命题函数f(x)=sin(ωx+Φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是Φ=kπ+π/2(k∈Z)是真命题,为什么
先证充分性:
当φ=kπ+π/2(k∈Z)
f(x)=sin(ωx+kπ+π/2)
=coswx=cos(-wx) 即证
再证必要性:
f(x)=f(-x)
sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ)
sin(ωx+φ)+sin(-ωx+φ)=0
2sinφcoswx=0
sinφ=0 所以φ=kπ+π/2(k∈Z)
即证