高中文科数学数列设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an,证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．答案已有,我想问的是图片中标记出的部分是如何得出

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 04:26:20

高中文科数学数列设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an,证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．答案已有,我想问的是图片中标记出的部分是如何得出
高中文科数学数列
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an,证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．

答案已有,我想问的是图片中标记出的部分是如何得出的,为什么等号两边要除以2^(n+1)?诸如此类的题目应如何下手?有什么规律吗?谢谢.

(2)
由(1)可得：
【bn＝a(n＋1)－2an＝3•2^(n－1)
∴[a(n＋1)]/[2^(n＋1)]－(an)/(2^n)=3/4】
∴数列{(an)/(2^n)}是首项为1/2,公差为3/4的等差数列
∴(an)/(2^n)＝1/2＋(n－1)3/4＝3/4n－1/4
即an＝(3n－1)•2^(n－2) (n∈N*)【这部分有疑问】

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思路如下：
条件是Sn＋1＝4an＋2.,而要解决的问题是bn＝a(n＋1)－2an
∴应将和Sn转化为项an,注意到公式S(n+1)-Sn=a(n+1)
于是由和式写出证明中的①②式,再相减得到a(n＋1）=4an-4a(n-1)
将这个式子变化成a(n＋1)－2an=bn的形式就得到bn=2b(n-1)
按此思路,第一个问题就解决了.
第二个问题应当将bn的结果变成an来寻求.
于是先得到红框内的第一个式子,显然a(n+1)和an的形式要一致,它们相减为常数才好研究
∴该式两边同除以2的(n+1)次方,便得到得到红框内的第二个式子
后面就是证明中所作的,相信你应该理解了.

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