在o为原点的直角坐标系中,已知圆锥曲线的一个焦点为F（1,0）,对应这个焦点的准线方程为x=-1,且过m（3,2√3）.（1）求圆锥曲线方程（2）已知圆锥曲线与直线y=k(x-4)相交与A,B两点,求证OA⊥OB（3

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 18:12:27

在o为原点的直角坐标系中,已知圆锥曲线的一个焦点为F（1,0）,对应这个焦点的准线方程为x=-1,且过m（3,2√3）.（1）求圆锥曲线方程（2）已知圆锥曲线与直线y=k(x-4)相交与A,B两点,求证OA⊥OB（3
在o为原点的直角坐标系中,已知圆锥曲线的一个焦点为F（1,0）,对应这个焦点的准线方程为x=-1,且过
m（3,2√3）.
（1）求圆锥曲线方程
（2）已知圆锥曲线与直线y=k(x-4)相交与A,B两点,求证OA
⊥OB
（3）当△OAB的面积等于2√65时,求k值

解: (1) ∵ e = =1, ∴ 曲线是抛物线

又∵F ( 1 , 0 ), 准线 x = – 1, ∴ 抛物线顶点在原点 p = 1– (– 1) = 2

∴ 所求的曲线方程为 y 2 = 4x

（2）当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意,

∴ k ¹ 0由y = k ( x – 4 )得

x = +4 代入y 2 = 4 x 整理得: y 2 – y – 16 = 0

设A (x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 则y 1 + y 2 = , y 1y 2 = – 16

∵A、B在y 2 = 4x上, ∴A ( , y 1 ), B ( , y 2 )

(或由y = k(x – 4)代入得k2x2– 4(2k2 +1)x + 16k2 = 0, ∴x1x2 = 16 ).

∴ kOA•kOB = = = = – 1, ∴ OA^OB.

(3) 设直线与x轴交于E, 则 E ( 4 , 0 ) ∴|OE| = 4

S△OAB = |OE|(| y 1| + | y 2| ) = 4| y 1 – y 2| =2 =2 =2

解得k = ± 4 .

（1）由题意得 c=1
若圆锥曲线为椭圆或双曲线，则-a2/c=-1，即a=1
此时a=c，不合题意
若圆锥曲线为抛物线，则p=1
所以圆锥曲线方程为y2=4x
代m（3，2√3）入方程，满足
所以所求方程为y2=4x
（2）设A（...

全部展开

（1）由题意得 c=1
若圆锥曲线为椭圆或双曲线，则-a2/c=-1，即a=1
此时a=c，不合题意
若圆锥曲线为抛物线，则p=1
所以圆锥曲线方程为y2=4x
代m（3，2√3）入方程，满足
所以所求方程为y2=4x
（2）设A（X1，Y1），B（X2，Y2）
所以 OA·OB=X1X2+Y1Y2
即 OA·OB=（1+k2）X1X2-4k2（X1+X2）+16K2（代y=k（X-4）入上式化简得）
代y=k（x-4）入y2=4x，得
k2x-4（k2+1）x+16k2=0
所以 X1X2=16，X1+X2=4（k2+1）/k2
代 X1X2=16，X1+X2=4（k2+1）/k2 入 OA·OB，得OA·OB=0
所以 OA⊥OB

收起