作业帮微分方程的线性什么意思
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:31:39
微分方程的线性什么意思
微分方程的线性什么意思
微分方程的线性什么意思
线性指的是方程中函数的导数和函数本身都是一次的,但这里仅仅是对于y本身来说,对x没限制.
也就是说y'+p(x)y+q(x)=0的形式.其中对于p(x)和q(x)并不做限制.
形式如(y')²+p(x)y+q(x)=0,y'+p(x)y²+q(x)=0等形式的就不再是线性方程.
为了更好的理解.可以这样打个比方,对于曾经学过的一次函数ax+by+c=0,ab不同时为0.
只要把其中的x和y换成微分方程中的y'和y即可,变换后的方程即为线性微分方程.
对于
F(y^(n),y^(n-1),...,y',y)=g(x)
去掉右端项得到的齐次方程
F(y^(n),y^(n-1),...,y',y)=0
如果y1,y2,...,yn都是齐次方程的解
那么它们的线性组合，取任意常数C1,C2,...,Cn,
C1y1+C2y2+...+Cnyn也是齐次方程的解
此微分方程即为线性。
例如<...
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对于
F(y^(n),y^(n-1),...,y',y)=g(x)
去掉右端项得到的齐次方程
F(y^(n),y^(n-1),...,y',y)=0
如果y1,y2,...,yn都是齐次方程的解
那么它们的线性组合，取任意常数C1,C2,...,Cn,
C1y1+C2y2+...+Cnyn也是齐次方程的解
此微分方程即为线性。
例如
y''+y=x
齐次y''+y=0
假设y1,y2都是解
(C1y1+C2y2)''+(C1y1+C2y2)
=C1(y1''+y1)+C2(y2''+y2)
=0+0
=0
所以是线性的
y'^2+y=x
齐次y'^2+y=0
y1,y2是解
(C1y1'+C2y2')^2+C1y1+C2y2
=C1^2y1'^2+C1y1+C2y2'^2+2C1C2y1'y2'
不恒为0，所以非线性
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