.对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形如何证明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 13:52:34

.对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形如何证明
.对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形如何证明

　　如上图,

　　已知:AC,BD为四边形ABCD的两条对角线,E,F,G,H分别为AB,AD,CD,BC的中点,且OE=OF=OG=OH

　　求证:四边形ABCD为菱形

证明：因为FG,EH分别是∆ABC和∆DBC的中位线,由中位线定理,EH∥AC,2EH=AC,GF∥AC,2GF=AC,所以GF∥EH,GF=EH,所以四边形EFGH是平行四边形；

　　因为OH=OE,所以点O在HE的中垂线上,同理,O在GF的中垂线上,HE,GF的中点分别为K,M,则O,K,M三点共线,HG,EF的中点分别为N,P,同理可得O,N,P三点共线,且NP是EF的中垂线；

　　又OK为∆HEF的中位线,所以OK∥EF,于是EF⊥EH；由于NP⊥EF,KM⊥HE,故KM⊥NP;

　　那么在∆OCD中,∠DOC=90度,故OH=HC=HD,则CD=2OH,同理可得BC=2OG,AB=2OF,AD=2OE,又OE=OF=OG=OH,故,AB=BC=CD=AD,则四边形ABCD为菱形.

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