作业帮问个关于微积分的问题第九题.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:24:08
问个关于微积分的问题第九题.
问个关于微积分的问题
第九题.
问个关于微积分的问题第九题.
令F(x,y)=f(x,y)/g(x,y),(x,y)≠(0,0)
则F(x,y)>0,(x,y)≠(0,0),且对任意k≠0,(x,y)≠(0,0)
有F(kx,ky)=f(kx,ky)/g(kx,ky)=f(x,y)/g(x,y)=F(x,y)
∵F(x,y)连续,∴F(x,y)在闭集圆周S上有最大值和最小值
又F(x,y)>0,∴最大值和最小值均为正,设为C2>0,C1>0
即C1≤F(x,y)≤C2,对任意(x,y)∈S={(x,y)|x²+y²=1}成立
则对任意(x,y)≠(0,0),有F(x,y)=F(x/√(x²+y²),y/√(x²+y²))
而(x/√(x²+y²),y/√(x²+y²))∈S,∴C1≤F(x,y)≤C2
∴对任意(x,y)≠(0,0),有C1≤f(x,y)/g(x,y)≤C2
即C1g(x,y)≤f(x,y)≤C2g(x,y).①
而(x,y)=(0,0)时,由f(kx,ky)=|k|f(x,y),令k=0,
知f(0,0)=0,同理g(0,0)=0,∴(x,y)=(0,0)时,①式也成立
∴对任意的(x,y),存在常数C1>0和C2>0,使得
C1g(x,y)≤f(x,y)≤C2g(x,y)