作业帮求下列级数收敛与否 若收敛 求和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 05:51:29
求下列级数收敛与否 若收敛 求和
求下列级数收敛与否 若收敛 求和
求下列级数收敛与否 若收敛 求和
我们用数学归纳法证明arctan(n/(n+2))=arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1)).
n=1时易见成立.假设n=k时成立,则对n=k+1.
arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1))=arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)).
两个角均 < π/4,和 < π/2,而算得tan(arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)))
=((n-1)/(n+1)+1/(n²+n+1))/(1-1/(n²+n+1)*(n-1)/(n+1))
=(n³+n)/(n³+2n²+n+2)=n/(n+2).n=k+1时也成立.于是命题对全体正整数成立.
当n趋于无穷,部分和arctan(n/(n+2))收敛到arctan(1)=π/4.