已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1,求an的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 23:54:02
已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1,求an的通项公式

已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1,求an的通项公式
已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1,求an的通项公式

已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1,求an的通项公式
a0=1
an=2^(n-1),n≥1
理由如下:
(1)首先a1=a0=1,即1≤n≤1时,an=2^(n-1)
(2)假设当1≤n≤k时,an=2^(n-1),(k≥1)
则a(k+1)=a0+a1+a2+……+ak=1+1+2^1+2^2+……+2^(k-1)=2^k
所以,当1≤n≤k+1时,an=2^(n-1)
由归纳假设,得an=2^(n-1),n≥1
结合a0=1,可得
a0=1
an=2^(n-1),n≥1

当n>1时,有
an=a0+a1+…+a(n-1)
a(n-1)=a0+a1+…+a(n-2)
两式相减,得
从而 an -a(n-1)=a(n-1)
即 an=2a(n-1)
从而 {an}是以2为公比为等比数列,
于是 当n=0时,a0=1,当n≥1时,有an=2^(n-1)。

an=a0+a1+…+an-1,........(1)
a_(n+1)=a0+a1+…+an,....(2)
(2)-(1)
a_(n+1)-an=an
a_(n+1)=2an
a_(n+1)/an=2
{an}是等比数列,
an=a0*2^n=2^n
an=2^n

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