作业帮x趋向于0时,sin（sin1/x）~sin1/x是错的,为什么?limsin（x的平方*sin1/x）/x=?x趋向于0,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:04:05
x趋向于0时,sin（sin1/x）~sin1/x是错的,为什么?limsin（x的平方*sin1/x）/x=?x趋向于0,
x趋向于0时,sin（sin1/x）~sin1/x是错的,为什么?limsin（x的平方*sin1/x）/x=?x趋向于0,
x趋向于0时,sin（sin1/x）~sin1/x是错的,为什么?limsin（x的平方*sin1/x）/x=?x趋向于0,
x趋向于0时,sin(1/x)并不趋向于0,由换元法可知,t趋向于0时,sint~t,当t不趋向于0时,就没有这个等价无穷小.
因为y=sin(1/x)是有界函数,所以易知lim(x→0)x^2sin(1/x)=0
此时就可以用x→0时,sinx~x这个等价无穷小
原式=lim(x→0)x^2*sin(1/x)/x=lim(x→0)x*sin(1/x)=0
因为y=sin(1/x)是有界函数,所以易知lim(x→0)xsin(1/x)=0
以上两个“易知”可由夹逼原理或定义证明,请自己证
求极限部分的答案是 极限=0
t趋向于0时 sint~t 是正确的 如果t=sin(1/x) 则x趋向于无穷大时 t趋向0
x趋向0时 t=sin(1/x)本身是小于等于1的 因此 sint 是有限范围的 而 右边sin(1/x) 实际是sin（x）[x趋向无穷大] 不能是相等的。
2 x趋向0时 x*x趋向0，sin(1/x)是有界数，因此 x^2*sin(1/x)趋向0
因此...
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t趋向于0时 sint~t 是正确的 如果t=sin(1/x) 则x趋向于无穷大时 t趋向0
x趋向0时 t=sin(1/x)本身是小于等于1的 因此 sint 是有限范围的 而 右边sin(1/x) 实际是sin（x）[x趋向无穷大] 不能是相等的。
2 x趋向0时 x*x趋向0，sin(1/x)是有界数，因此 x^2*sin(1/x)趋向0
因此 sin(x^2*sin(1/x)). 趋向x^2*sin(1/x)
原式=lim[x^2*sin(1/x)]/x=limx*sin(1/x) x趋向0 sin(1/x)有界 因此结果是0
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x趋向于0时，sinx~x，而sin1/x不等价于x，这是由于sin1/x在x=0附近上下波动，而不是趋于某一固定的值，即sin（sin1/x）~sin1/x是错的
sin（x的平方*sin1/x）/x=[x的平方*sin1/x+o(x)]/x=x*sin1/x+o(1)→0,当x趋于0时，（|sin1/x|<=1）
故limsin（x的平方*sin1/x）/x=0，x趋向于0（也...
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x趋向于0时，sinx~x，而sin1/x不等价于x，这是由于sin1/x在x=0附近上下波动，而不是趋于某一固定的值，即sin（sin1/x）~sin1/x是错的
sin（x的平方*sin1/x）/x=[x的平方*sin1/x+o(x)]/x=x*sin1/x+o(1)→0,当x趋于0时，（|sin1/x|<=1）
故limsin（x的平方*sin1/x）/x=0，x趋向于0（也可以用洛必达法则做）
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