在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F.求证:FD的平方=FB×FC

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 04:17:02
在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F.求证:FD的平方=FB×FC

在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F.求证:FD的平方=FB×FC
在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F.求证:FD的平方=FB×FC

在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F.求证:FD的平方=FB×FC
证明:
连接AF
∵EF是AD的垂直平分线
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∴∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD
∵∠BAD=∠CAD
∴∠FAC=∠B
∵∠AFC=∠BFA
∴△AFC∽△BFA
∴AF/FB=FC/AF
∴AF ²=FC *FB
∴FD²=FC *FB

连接AF

∵EF是AD的垂直平分线

∴FA=FD

  ∠FAD=∠FDA

  即∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD

又∵∠BAD=∠CAD

∴∠FAC=∠B

∵∠AFC=∠BFA

∴△AFC∽△BFA

∴AF/FB=FC/AF

∴AF 2=FC *FB

∵FA=FD(已证)

∴FD2=FC *FB