如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,⊙O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F.求证:D,E,F三点共线.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 22:39:00
如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,⊙O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F.求证:D,E,F三点共线.

如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,⊙O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F.求证:D,E,F三点共线.
如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,⊙O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F.求证:D,E,F三点共线.

如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,⊙O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F.求证:D,E,F三点共线.
如图,连AC,DF,DE.
∵M在⊙O上,
∴∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB,
∴△AMC∽△ACF,
∴MC /MA =CF /CA =CF /CD .
∵∠AMC=BAC
∴△AMC∽△EAC
∴MC /MA =AC/ AE =AD/ AE .
∴CF /CD =AD/ AE ,
∵∠BAD=∠BCD=120°
∴△CFD∽△ADE.
∴∠ADE=∠DFB.∵AD∥BC
∴∠ADF=∠DFB=∠ADE,
于是F,E,D三点共线.

图呢?

如图,连AC,DF,DE.
∵M在⊙O上,
∴∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB,
∴△AMC∽△ACF,
∴MC /MA =CF /CA =CF /CD .
∵∠AMC=BAC
∴△AMC∽△EAC
∴MC /MA =AC/ AE =AD/ AE .
∴CF /CD =AD/ AE ,
∵∠BAD=∠BCD=120°

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如图,连AC,DF,DE.
∵M在⊙O上,
∴∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB,
∴△AMC∽△ACF,
∴MC /MA =CF /CA =CF /CD .
∵∠AMC=BAC
∴△AMC∽△EAC
∴MC /MA =AC/ AE =AD/ AE .
∴CF /CD =AD/ AE ,
∵∠BAD=∠BCD=120°
∴△CFD∽△ADE.
∴∠ADE=∠DFB.∵AD∥BC
∴∠ADF=∠DFB=∠ADE,
于是F,E,D三点共线.

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