x^2-xy+x^2=x+y 整数解原题：X+Y的和的平方=X的3次方+Y的3次方的正整数解 两类问法是一致的.要所有正整数解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 12:18:36
x^2-xy+x^2=x+y 整数解原题：X+Y的和的平方=X的3次方+Y的3次方的正整数解 两类问法是一致的.要所有正整数解

x^2-xy+x^2=x+y 整数解原题：X+Y的和的平方=X的3次方+Y的3次方的正整数解 两类问法是一致的.要所有正整数解
x^2-xy+x^2=x+y 整数解
原题：X+Y的和的平方=X的3次方+Y的3次方的正整数解
两类问法是一致的.
要所有正整数解

x^2-xy+x^2=x+y 整数解原题：X+Y的和的平方=X的3次方+Y的3次方的正整数解 两类问法是一致的.要所有正整数解
(x+y)^2=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
1:x=y=0不是整数
2:x+y=x^2-xy+y^2
2(x+y)=2x^2-2xy+2y^2
(x-1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2=2
(1)x=2,y=1
(2)x=1,y=2
(3)x=2,y=2

首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。
下面说明如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<= x^2+y^2，矛盾...

全部展开

首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。
下面说明如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<= x^2+y^2，矛盾！同理，x也不可能是负数。于是x>=0,y>=0。
在x+y=x^2-xy+y^2两边同时乘以x+y，得到(x+y)^2=x^3+y^3，但是要注意到如果x,y都大于2的话，那么x^3+y^3=x*x^2+y*y^2>2x^2+2y^2，而（2x^2+2y^2）－(x+y)^2=(x-y)^2>=0。因而x^3+y^3>2x^2+2y^2>=(x+y)^2，所以此时方程无整数解！从而可知x,y中至少有一个不超过2.。先假设x不超过2，但x又是非负整数，那么它只可能取0，1或2。分别代入原方程解得x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。同理假设y不超过2,也可得到(或由x,y的对称性得) x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。
所以原不定方程的所有整数解为x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。一共有六组。

收起

x=y=1

(x+y)^2=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
(x+y)(x+y-x^2+xy-y^2)=0
x+y=0,x+y-x^2+xy-y^2=0
1.x=t
y=-t,t为任意整数
2.y^2-(1+x)y+x^2-x=0
(1+x)^2-4(x^2-x)=6x-3x^2+1=-3(x-1)^2+4(不是完全平方）
无整数解

整数x,y满足方程2xy+x+y=83,则x+y怎么算 已知x*x+xy-2y*y=7 求整数x y的值 整数x,y满足x2-y2=2xy,求x-y/x+y的值 已知整数x和y,满足x^+xy-2y^=7,求xy的值 求方程xy-x-y=2的整数解 方程xy+2x+y=0的整数解? xy-x-y=2 的整数解. 求xy-x-y=2的整数解. xy+2x+y=5的整数解 整数x,y满足x²-y²=2xy,求x-y/x+y的值 若x^y-2xy+y+x^2-2x=1983,求满足条件的整数对(x,y).... 已知x^2+xy-2y^2=7,求整数x,y的值 求方程(x+y)/(x^2-xy+y^2)=3/7的整数解1 求方程x+y=x^2-xy+y^2的整数解 求方程xy-2x-2y+7=0(x≤y)的整数解 关于x,y的方程xy=2x+2y的整数解有几组 求方程x+y=x^2-xy+y^2的整数解. x+y=x^2-xy+y^2的整数解要用判别式法的,