如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC,垂足为H,连接AI延长交BC于E,连接BI延长交AC于F.记∠CAE为∠1,∠CBF为∠2（1）求证：AI=CI(2)当∠1=∠2时,（即∠CAE=∠CBF),求证：DG=

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 09:31:12

如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC,垂足为H,连接AI延长交BC于E,连接BI延长交AC于F.记∠CAE为∠1,∠CBF为∠2（1）求证：AI=CI(2)当∠1=∠2时,（即∠CAE=∠CBF),求证：DG=
如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC,垂足为H,连接AI延长交BC于E,连接BI延长交AC于F.
记∠CAE为∠1,∠CBF为∠2
（1）求证：AI=CI
(2)当∠1=∠2时,（即∠CAE=∠CBF),求证：DG=DH
注：（A,I,E 在一条直线上,我画的时候没画好,再加上被压缩了,

如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC,垂足为H,连接AI延长交BC于E,连接BI延长交AC于F.记∠CAE为∠1,∠CBF为∠2（1）求证：AI=CI(2)当∠1=∠2时,（即∠CAE=∠CBF),求证：DG=
(1)证明：D,G分别为AB,AC的中点,
∴DG‖BC,∠AGD＝∠ACB=90°（注：‖为“平行于”）
∠AGI=∠CGI=90°
又AG=CG,GI=GI,由全等三角形的边角边定理得
△AGI全等于△CGI
∴ AI=CI
(2)证明：当∠1=∠2时（即∠CAE=∠CBF）时,
∵△AGI全等于△CGI
∴∠ICG=∠IAG=∠1=∠2=∠CBI (1)
又∵DG‖BC,由内错角相等得：
∠GIC=∠BCI (2)
由(1)、(2)两式得△ICG与△CBI中有两个角相等,
∴△ICG∽△CBI,
由相似三角形的对应边成比例得：
IC/IG=CB/CI
∴IC^2=BC*GI (3)
IH⊥BC,DG‖BC
∴IH⊥DG,由勾股定理得：
DH^2=IH^2+DI^2
=GC^2+(DG-GI)^2
=GC^2+GI^2-2*DG*GI+DG^2
=IC^2-2*DG*GI+DG^2 (4)
将(3)式以及2*DG=BC代入(4)式得
DH^2=BC*GI-2*DG*GI+DG^2
=BC*GI-BC*GI+DG^2
=DG^2
∴DG=DH