作业帮某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 23:59:40
某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG
某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG= 1 2 AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． （2）数学思考：在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请给出证明过程； （3）类比探究：（i）在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状．答： ． （ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图）,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使（2）中的结论此时仍然成立,j认为需增加一个什么样的条件?（限用题中字母表示）并说明理由．
某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG
●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：MD=ME,MD⊥ME,
1、MD=ME；
如图2,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,MF,MG,EG,
∵M是BC的中点,
∴MF∥AC,MF= AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线,
∴EG⊥AC且EG= AC,
∴MF=EG．
同理可证DF=MG．
∵MF∥AC,
∴∠MFA＋∠BAC=180°．
同理可得∠MGA+∠BAC=180°,
∴∠MFA=∠MGA．
又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°,
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA,
即∠DFM=∠MEG,又MF=EG,DF=MG,
∴△DFM≌△MGE（SAS）,
∴MD=ME．
2、MD⊥ME；
证法一：∵MG∥AB,
∴∠MFA+∠FMG=180°,
又∵△DFM≌△MGE,∴∠MEG=∠MDF.
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,
其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,
∴∠DME=90°.
即MD⊥ME；
证法二：如图2,MD与AB交于点H,
∵AB∥MG,
∴∠DHA=∠DMG,
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,
即∠DHA=∠FDM+90°,
∵∠DMG=∠DME+∠GME,
∴∠DME=90°
即MD⊥ME；
●类比探究
答：等腰直角三解形
【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识,能力要求很高．
【解题思路】 （1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确,④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系,一般由全等证线段相等,受图1△DFM≌△MGE的启发,应想到取中点构造全等来证MD=ME,证MD⊥ME就是要证∠DME=90°,由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF,△DFM中四个角相加为180°,∠FMG可看成三个角的和,通过变形计算可得∠DME=90°． （3）只要结论,在（2）的基础易知为等腰直角三解形.
【答案】
●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：MD=ME，MD⊥ME，
1、MD=ME；
如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中点，
∴MF‖AC，MF=\x01AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的