作业帮已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}：a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n／an,求{cn}前n项
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 11:00:45
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}：a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n／an,求{cn}前n项
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}：a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n／an,求{cn}前n项
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}：a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n／an,求{cn}前n项
a(n+1)=an/(an+3).整理得
1/a(n+1)=3/an +1
令1/an=bn,b1=a1=1
b(n+1)=3bn+1
b(n+1)+1/2=3(bn+1/2)
令bn+1/2=Tn,T1=b1+1/2=3/2
Tn=3/2.3^(n-1)
bn=3/2.3^(n-1)-1/2
an=1/(3/2.3^(n-1)-1/2)
（1）an+1=an/(an+1), 求倒数，1/an+1=(an+1)/an
=1+1/an,所以1/an+1-1/an=1,所以数列1/an是等差数列，公差为1，1/an=1/a1+(n-1)*1=n,所以an=1/n
(2)cn=2^n/an=n*2^n
用错位相减法求数列cn的前n项和，可得
和=2+(n-1)2^(n+1)
∵a(n+1)=f(an)=an/(1+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=(1/an)+1
∴｛1/an｝是一个首项为1/a1=1，公差为1的等差数列，
∴1/an=n
∴an=1/n
又cn=2^n/an=n·2^n，其前n项和设为Tn
则Tn=1·2+2·4+3·8+…+n·2^n ①
2Tn...
全部展开
∵a(n+1)=f(an)=an/(1+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=(1/an)+1
∴｛1/an｝是一个首项为1/a1=1，公差为1的等差数列，
∴1/an=n
∴an=1/n
又cn=2^n/an=n·2^n，其前n项和设为Tn
则Tn=1·2+2·4+3·8+…+n·2^n ①
2Tn= 1·4+2·8+…+(n-1)·2^n+n·2^(n+1) ② （错位想减）
②-①，Tn=n·2^(n+1)-1·2-1·4-1·8-…-1·2^n
=n·2^（n+1）-（2^(n+1)-2）
=(n-1) ·2^（n+1）+2
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