在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,√2）且斜率为k的直线l与椭圆x^2+y^2=1有两个不同交点P和Q.设椭圆与x轴正半轴,y轴正半轴的交点分别为A.B,是否存在常数k,使得向量OP+向量OQ与向量AB共线?如果

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 12:12:26

在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,√2）且斜率为k的直线l与椭圆x^2+y^2=1有两个不同交点P和Q.设椭圆与x轴正半轴,y轴正半轴的交点分别为A.B,是否存在常数k,使得向量OP+向量OQ与向量AB共线?如果
在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,√2）且斜率为k的直线l与椭圆x^2+y^2=1有两个不同交点P和Q.
设椭圆与x轴正半轴,y轴正半轴的交点分别为A.B,是否存在常数k,使得向量OP+向量OQ与向量AB共线?如果存在,求k值,如果不存在,请说明理由.

在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,√2）且斜率为k的直线l与椭圆x^2+y^2=1有两个不同交点P和Q.设椭圆与x轴正半轴,y轴正半轴的交点分别为A.B,是否存在常数k,使得向量OP+向量OQ与向量AB共线?如果
经过点（0,√2）且斜率为k的直线l的方程为,
y - 2^(1/2) = kx,
y = 2^(1/2) + kx.
将上式带入x^2 + y^2 = 1,得
x^2 + [2^(1/2) + kx]^2 = 1,
(1+k^2)x^2 + 2k2^(1/2)x + 1 = 0
设P,Q的坐标分别为(u,2^(1/2) + ku)和(v,2^(1/2)+kv).
则,向量OP+向量OQ = [u+v,8^(1/2)+k(u+v)]
而由u,v为(1+k^2)x^2 + 2k2^(1/2)x + 1 = 0的2个实根,有
u+v = -2k2^(1/2)/[1+k^2]
向量OP+向量OQ = [u+v,8^(1/2)+k(u+v)]
// [-k,1]
又,
A的坐标为(1,0)
B的坐标为(0,1)
向量AB = [-1,1].
要使向量OP+向量OQ 与向量AB共线,
只有,[-1,1] // [-k,1]
k = 1.

1.设直线的方程K=(y-√2)/x
把直线的方程代入椭圆的方程得：
（2K^2+1)X^2+4√2KX+2=0
当直线与椭圆相切的时候有一个公共点，
则（4√2K）^2-4*(2k^2+1)*2=0
得：K=±√2/2
所以-√2/2≤K≤0或0＜K≤√2/2
可不可以不第二问叙述清楚