作业帮已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.令bn=an·3^n,求数列{bn}的前n项和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 10:05:17
已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.令bn=an·3^n,求数列{bn}的前n项和
已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.令bn=an·3^n,求数列{bn}的前n项和
已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.令bn=an·3^n,求数列{bn}的前n项和
设d是公差
由a1+a2+a3=12知d=2
an=a1+(n-1)d=2n
bn=2n*3^n
又设sn=b1+b2+...+bn
注意到3*b(n-1)=bn-2*3^n (关键一步,必须理解)
那么3*sn=sn + b(n+1) - 2*3^(n+1)-2*3^n-2*3(n-1)-...-2*3^2 - b1
上式中只有sn是未知的,移项解出即可
中间我省略了一步,因为打字比手写要麻烦得多.你得自己把那个关键的结果代入,过程类似于课本上等比数列求和公式的推导——“错位相减”
已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.
2a2=a1+a3
所以：
3a2=12
a2=4
d=a2-a1=4-2=2
所以：
an=a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n
bn=an·3^n=2n*3^n
所以：
Sn=2*1*3^1+2*2*3^2+....+2n*3^n
左...
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已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.
2a2=a1+a3
所以：
3a2=12
a2=4
d=a2-a1=4-2=2
所以：
an=a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n
bn=an·3^n=2n*3^n
所以：
Sn=2*1*3^1+2*2*3^2+....+2n*3^n
左右同乘3
3Sn= 2*1*3^2+....+2*(n-1)*3^n+2n*3^(n+1)
相减：
-2Sn=2*1*3^1+2*(3^2+3^3+...+3^n)-2n*3^(n+1)
-Sn=3^1+3^2+..+3^n-n*3^(n+1)
=3*(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+1)
Sn=n*3^(n+1)-3*(3^n-1)/2
收起
典型等比乘等差，错位相消法