作业帮已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 描述:(1)讨论f(x)的单调性.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1描述:(1)讨论f(x)的单调性.(2)设a＜-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:00:04
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 描述:(1)讨论f(x)的单调性.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1描述:(1)讨论f(x)的单调性.(2)设a＜-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 描述:(1)讨论f(x)的单调性.
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1
描述:(1)讨论f(x)的单调性.(2)设a＜-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 描述:(1)讨论f(x)的单调性.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1描述:(1)讨论f(x)的单调性.(2)设a＜-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.
（1）f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1
得到定义域：x>0
求导：f’(x)=(a+1)/ x+2ax
当a≥0时,f’(x) >0,则f(x)单调递增
当a≤-1时,f’(x) <0,则f(x)单调递减
当-1
∵x>0;∴g(x)和f’(x)同号.
此时当x≥√(-(a+1)/2a)时,g(x)≥0,则f’(x)≥0,那么f(x)单调递增
此时当0
∵a≤-2
∴2√(2a(a+1)) ≥4
又∵a≤-2
∴f’(x)<0; - f’(x)>0; - f’(x)=| f’(x)|
从而得到：| f’(x)| ≥4
由拉格朗日中值定理得到：
在（x1,x2）之间存在一点ξ,成立式子：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=|f’(ξ)|
因为任意x有| f’(x)| ≥4,那么就有| f’(ξ)| ≥4
所以得到：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|≥4
也就得证：
|f(x1)-f(x2)| ≥4|x1-x2|；
高中题目不想看了。
（1）求导会吧，x>0然后再讨论a，应该不难，就一步步来。点（a+1）/2a是关键点，不要搞错
（2）设x1>x2，由上一问得，这种条件下是递减的函数，所以f(x1)-f(x2)小于等于-4（x1-x2），然后把数带进去，组成一个不等式，x1的在一边，x2的在小于等于号的一边，你会发现两边是一样的形式，就是说你组成了新的函数，在讨论这个函数的单调性必须是递减的（原因是前面你设的），基于这个...
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（1）求导会吧，x>0然后再讨论a，应该不难，就一步步来。点（a+1）/2a是关键点，不要搞错
（2）设x1>x2，由上一问得，这种条件下是递减的函数，所以f(x1)-f(x2)小于等于-4（x1-x2），然后把数带进去，组成一个不等式，x1的在一边，x2的在小于等于号的一边，你会发现两边是一样的形式，就是说你组成了新的函数，在讨论这个函数的单调性必须是递减的（原因是前面你设的），基于这个条件你会算出a的取值范围。答案是不是a<-1啊？
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(1)f'(x)=(a+1)/x+2ax时 当令g(x)=f'(x) g'(x)=-(a+1)/x^2
a. 当a+1>=0 g'(x)<0 g(x)单调递减 令g(x0)=0 x0^2=-(a+1)/2a 要使x有解,则 (a+1)/2a<=0 又a+1>=0 所以2a<0 解得 -1
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(1)f'(x)=(a+1)/x+2ax时 当令g(x)=f'(x) g'(x)=-(a+1)/x^2
a. 当a+1>=0 g'(x)<0 g(x)单调递减 令g(x0)=0 x0^2=-(a+1)/2a 要使x有解,则 (a+1)/2a<=0 又a+1>=0 所以2a<0 解得 -1
b.当a+1<=0 即a<-1 g'(x)>0 g(x) 增 根据a的取值范围得0
(2)根据（1）的结果，当a<-1 还得要分类讨论
当时-1
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