作业帮已知函数f(x)=x^2+2x+alnx.（1）当a=-4,求函数f(x)的极值.（2）讨论函数f(x)的单调增区间.（3）当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3 试求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 04:43:16
已知函数f(x)=x^2+2x+alnx.（1）当a=-4,求函数f(x)的极值.（2）讨论函数f(x)的单调增区间.（3）当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3 试求a的取值范围
已知函数f(x)=x^2+2x+alnx.
（1）当a=-4,求函数f(x)的极值.
（2）讨论函数f(x)的单调增区间.
（3）当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3 试求a的取值范围
已知函数f(x)=x^2+2x+alnx.（1）当a=-4,求函数f(x)的极值.（2）讨论函数f(x)的单调增区间.（3）当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3 试求a的取值范围
1) f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x =(2x^2+2x-4)/x=0 (x>0)
x^2+x-2=0
(x-1)(x+2)=0
所以
有唯一驻点x=1,左边导数小于0,右边导数大于0,即取极小值f(1)=3.
2) f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x
因为x>0,所以f'(x)的符号由二次函数g(x)=x^2+x+a/2决定.
二次函数g(x)的对称轴为x=-1/2=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0
设x=t-1,x>=0,上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)=0
ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)].
所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0,即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立.2(x+1)^2-a>=0恒成立对x>=0,那么a2,因为当x--->0+时,极限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1,因此对充分小的正数x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]