作业帮已知数列{an}满足a1=3/2,且an=3na(n-1)/2an-1+n=1,(n≥2,n∈N）设bn=an/n(n∈N),求证b1b2···bn以图为准。 第一问已求出。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 19:51:29
已知数列{an}满足a1=3/2,且an=3na(n-1)/2an-1+n=1,(n≥2,n∈N）设bn=an/n(n∈N),求证b1b2···bn以图为准。 第一问已求出。
已知数列{an}满足a1=3/2,且an=3na(n-1)/2an-1+n=1,(n≥2,n∈N）设bn=an/n(n∈N),求证b1b2···bn
以图为准。 第一问已求出。
已知数列{an}满足a1=3/2,且an=3na(n-1)/2an-1+n=1,(n≥2,n∈N）设bn=an/n(n∈N),求证b1b2···bn以图为准。 第一问已求出。
证明：
先求an的通项公式
∵an=3na(n-1)/[2a(n-1)+n-1]
两边同时取倒数,得
1/an=2/3n+(n-1)/3na(n-1)
∴n/an=(2/3)+(1/3)[(n-1)/a(n-1)]
∴n/an-1=(1/3)[(n-1)/a(n-1)-1]
∴数列{(n/an)-1}是首项=(1/a1)-1=2/3-1=-1/3,公比=1/3的等比数列
∴(n/an)-1=(-1/3)*(1/3)^(n-1) (n>=1)
∴n/an=1-(1/3)^n=1/bn
要证b1b2...bn1/2
即(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>1/2 .(2)
先证明,n∈N*时,有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n).(3)
下面用数学归纳法证明
n=1时(3)式成立
假设n=k时成立,即
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)
则n=k+1时
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]
=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)
>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] (3)式成立
故由数学归纳法知(3)式对一切n∈N*均成立
∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)
=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=1-(1/2)[1-(1/3)^n]
=1/2+1/2(1/3)^n
>1/2
即(2)式成立
从而(1)式成立,即
b1b2...bn
这个问题首先要把an求出来
先两边取倒数哦，，在两边剩n，
再两边3的n次方
再 将右边含义an-1的项移向左面
跌加就可以将an求出来了
第二问如果不能 直接代入求解，看看两边取自然对数可以简化吗
额，题目没问题吗，这里是不是打错了an=3na(n-1)/2an-1+n=1
详见图片