（1-1/2²）（1-1/3²）（1-1/4²）……（1-1/2013²）（1-1/2014²）

（1-1/2²）（1-1/3²）（1-1/4²）……（1-1/2013²）（1-1/2014²）
（1-1/2²）（1-1/3²）（1-1/4²）……（1-1/2013²）（1-1/2014²）

（1-1/2²）（1-1/3²）（1-1/4²）……（1-1/2013²）（1-1/2014²）
(1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/4²)…(1-1/2012²)(1-2013²)（1-1/2014²）
=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)(1-1/4)(1+1/4)×.×(1-1/2013)(1+1/2013)(1-1/2014)(1+1/2014)
=1/2×3/2×2/3×4/3×3/4×5/4×.×2011/2012×2013/2012×2012/2013×2014/2013×2013/2014×2015/2014
=1/2×2015/2014
=2015/4028

(1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/4²)……(1-1/2012²)(1-1/2013²)
=[(2²-1)/2²][(3²-1)/3²][(4²-1)/4²]……[(2012²-1)/2012²][(2013²-1)/2013²]

全部展开

(1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/4²)……(1-1/2012²)(1-1/2013²)
=[(2²-1)/2²][(3²-1)/3²][(4²-1)/4²]……[(2012²-1)/2012²][(2013²-1)/2013²]
=(2²-1)(3²-1)(4²-1)……(2012²-1)(2013²-1) ÷ (2²×3²×4²……2012²×2013²)
=(2+1)(2-1)(3+1)(3-1)(4+1)(4-1)……(2012+1)(2012-1)(2013+1)(2013-1) ÷ (2013!)²
=[(2-1)(3-1)(4-1)……(2012-1)(2013-1)] × [(2+1)(3+1)(4+1)……(2012+1)(2013+1)] ÷(2013!)²
=(1×2×3……2011×2012) × (3×4×5……2013×2014) ÷ (2013!)²
=(2012! × 2014!/2) ÷ (2013!)²
=(2012! × 1007 × 2013!) ÷ (2013! × 2013 × 2012! )
=1007/2013

收起

。