作业帮1`过点P（0,2）的直线L交椭圆x^2+2y^2=2于A,B两点,使三角形AOB的面积为2/3,求直线方程2·已知椭圆的焦点为F1（1,4）,F2（9,13）,且于直线L：x-y=0相切于P1）证明：PF1模+PF2模是直线L上的点到两焦点F1,F
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 19:15:12
1`过点P（0,2）的直线L交椭圆x^2+2y^2=2于A,B两点,使三角形AOB的面积为2/3,求直线方程2·已知椭圆的焦点为F1（1,4）,F2（9,13）,且于直线L：x-y=0相切于P1）证明：PF1模+PF2模是直线L上的点到两焦点F1,F
1`过点P（0,2）的直线L交椭圆x^2+2y^2=2于A,B两点,使三角形AOB的面积为2/3,求直线方程
2·已知椭圆的焦点为F1（1,4）,F2（9,13）,且于直线L：x-y=0相切于P
1）证明：PF1模+PF2模是直线L上的点到两焦点F1,F2的距离和的最小值
2）求椭圆长轴长
1`过点P（0,2）的直线L交椭圆x^2+2y^2=2于A,B两点,使三角形AOB的面积为2/3,求直线方程2·已知椭圆的焦点为F1（1,4）,F2（9,13）,且于直线L：x-y=0相切于P1）证明：PF1模+PF2模是直线L上的点到两焦点F1,F
因为直线L过点P（0,2）,所以可设L：y=kx+2,与椭圆方程联立消x得
(2k²+1)x²+8kx+6=0
△=(8k)²-4*(2k²+1)*6>0,解得k²>3/2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理有
x1+x2= 8k/(2k²+1)
x1x2=6/(2k²+1)
设L与x轴交于M点,由y=kx+2可算得M (-2/k,0),由
S△AOB= S△AOM+ S△BOM得
2/3= (1/2)*|OM|*|y1-y2|,即
2/3= (1/2)*| -2/k |*|y1-y2|,因为点A、B均在直线L：y=kx+2上,所以
y1=kx1+2,y2=kx2+2,代入上式得
2/3= (1/2)*| -2/k |*|(kx1+2)- (kx2+2)|,整理得
2/3= |x1-x2|,平方得
4=9(x1-x2)²
(x1+x2)²-4x1x2=4/9,将韦达定理代入
[(8k)/ (2k²+1)]²-4*6/(2k²+1)=4/9,结合前面解出的k的范围k²>3/2,得
k=√10/2或√22/2
2、设椭圆半长轴长设为a,M为直线L上的任一点,.
（1）证明：设MF1交椭圆于点R,连接RF2,则
|MF1|+|MF2|=|RF1|+|MR|+|MF2|
在△MF2R中,由三角形两边之和大于第三边有|MR|+|MF2|≥|RF2|,（当M与P重合时,R也与P重合,|MR|=0,此时取得等号）代入上式继续
|MF1|+|MF2|≥|RF1|+|RF2|
根据椭圆的性质有|RF1|+|RF2|=2a=|PF1|+|PF2|,从而
|MF1|+|MF2|≥|PF1|+|PF2|,由M点的任意性所以得证：
|PF1|+|PF2|是直线L上的点到两焦点F1,F2的距离和的最小值
作点F1(1,4)关于直线L的对称点A(xo,yo),由中点公式可求出F1A的中点为[(xo+1)/2,(yo+4)/2],这个中点在直线L：x-y=0上,所以
(xo+1)/2-(yo+4)/2=0 …………①
直线F1A垂直于直线L,所以二者斜率乘积为-1,即
1*(xo-1)/ (yo-4)= -1 …………②
①②联立解得xo=4,yo=1
所以|MF1|+|MF2|=|MA|+|MF2|≥|AF2|=√[(xo-9)² +(xo-13)²]=√[(4-9)² +(1-13)²]=13
即直线L上的点到两焦点F1,F2的距离和的最小值为13；
前面已经证过,直线L上的点到两焦点F1,F2的距离和的最小值=|PF1|+|PF2|=2a
所以2a=13,所以
椭圆长轴长为13.