已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈[0,π],求最大值和最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 22:49:58

已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈[0,π],求最大值和最小值
已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈[0,π],求最大值和最小值

已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈[0,π],求最大值和最小值
解
f(x)=2sinx(sinx+cosx)
=2sin²x+2sinxcosx
=sin2x-(1-2sin²x)+1
=sin2x-cos2x+1
=√2(√2/2sin2x-√2/2cos2x)+1
=√2sin(2x-π/4)+1
∵x∈[0,π]
∴2x-π/4∈[-π/4,7π/4]
∴sin(2x-π/4)∈[-√2/2,1]
∴f(x)的最小值为：f(x)min=-1+1=0
最大值为：f(x)min=√2+1

f(x)=2sinx(sinx+cosx)
=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=sin2x-cos2x+1
=√2sin(2x-π/4)+1
当2x-π/4=2kπ+π/2,k∈Z
即 x=kπ+3π/8,k∈Z时，
因为x∈[0,π],
所以,当X=3π/8
f(x)取得最大值√2+1
不懂的欢迎追问，如有帮助请采纳，谢谢!

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