已知关于x的一元二次方程x^2-mx+2m-5=0的两个实数根分别是一个直角三角形的两条直角边,求此三角形的斜边的最小值.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 23:11:54

已知关于x的一元二次方程x^2-mx+2m-5=0的两个实数根分别是一个直角三角形的两条直角边,求此三角形的斜边的最小值.
已知关于x的一元二次方程x^2-mx+2m-5=0的两个实数根分别是一个直角三角形的两条直角边,求此三角形的斜边的最小值.

设直角三角形两个直角边的长为a、b,斜边长为c.

∵a、b是方程的两个根,由根与系数的关系可得：a+b=m＞C ①,ab=2m—5＞0 ②；

∴C²=a²+b²=（a+b）²—2ab=m²—2（2m—5）= m²—4m+10=（m—2）²+6 ③；

由②得：m＞2.5；代入③得：C²=（m—2）²+6＞6.25,c＞2.5

所以,斜边没有最小值.

判别式=m^2-4(2m-5)=m^2-8m+20=(m-4)^2+4>0, 因此方程有两个不等实根；
两根和=m>0
两根积=2m-5>0,得m>2.5
故m>2.5
斜边为c,
c^2=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=m^2-2(2m-5)=m^2-4m+10=(m-2)^2+6
因为m>2.5, 当m=2.5时，c^2=0.5^2+6=6.25, c=2.5
所以斜边c>2.5

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