作业帮在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆O,点P是圆O在第一象限中的一个动点,过点P作圆O的切线与X轴交于点A,与Y轴交于点B.（1）点P在运动是,线段AB的长度也在发生变化,请写出线
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 10:53:48
在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆O,点P是圆O在第一象限中的一个动点,过点P作圆O的切线与X轴交于点A,与Y轴交于点B.（1）点P在运动是,线段AB的长度也在发生变化,请写出线
在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆O,点P是圆O在第一象限中的一个动点,过点P作圆O的切
线与X轴交于点A,与Y轴交于点B.（1）点P在运动是,线段AB的长度也在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由.
（2）在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由.
在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆O,点P是圆O在第一象限中的一个动点,过点P作圆O的切线与X轴交于点A,与Y轴交于点B.（1）点P在运动是,线段AB的长度也在发生变化,请写出线
设切点P与y轴构成的角为A
AB= R*tan A + Rtan(90-A) = R (tanA + cotA)
当A=45度时,AB=2R为最小
当P在（sqrt(2),sqrt(2)),Q在（sqrt(2),-sqrt(2))时,A在（2,0）APOQ为正方形
1. ∠OAB=30°, AB的斜率为tg(180°-30°) = -1/√3 AB的方程为: y = -(1/√3)x + b, (1/√3)x +y - b = 0 (显然b >0） |OP| = |-b|/√(1/3 +1) = √3b/2 = 2 (圆O的半径) b = 4/√3 AB的方程为: y = -(1/√3)x + 4/√3 取y = 0 和 x = 0, 可得A(4,0), B(0, 4/√3) |AB| = √(16 +16/3)=8√3/3 2. 设圆O上存在点Q，使得Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形。 显然使QP与x轴平行且|QP|=|OA|即可。 设AB的斜率为k（显然k<0), AB的方程为y = kx + c, kx -y + c = 0 (显然c > 0) |OP| = |c|/√(k² +1) = c/√(k² +1) = 2 (圆O的半径) c = 2√(k² +1) AB的方程为y = kx + 2√(k² +1) 取y = 0, A(-2√(k² +1)/k, 0) OP的斜率为-1/k OP的方程为y = -x/k 联立AB和OP的方程，得P(-2k/√(k² +1), 2/√(k² +1)) 显然PQ与OA平行, PQ的方程为 y = 2/√(k² +1) 圆O方程为x² + y² = 4 联立圆O与PQ的方程, 交点的横坐标为 x = 2k/√(k² +1) (Q), x = -2k/√(k² +1) (P) |PQ| = -4k/√(k² +1) |OA| = -2√(k² +1)/k |PQ| = |OA| k² = 1 k = 1(P不在第一象限， 舍去） k = -1 Q(-√2, √2)