在平面直角坐标系xOy中,点M（－6,8）,动点p（x,y）满足向量MP*向量OP＝11:求动点p的轨迹方程2:p是轨迹上任意一点,设向量MP与OP夹角为α,求cosα的取值范围,并求cosα取最大值时点p的坐标

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 23:50:12

在平面直角坐标系xOy中,点M（－6,8）,动点p（x,y）满足向量MP*向量OP＝11:求动点p的轨迹方程2:p是轨迹上任意一点,设向量MP与OP夹角为α,求cosα的取值范围,并求cosα取最大值时点p的坐标
在平面直角坐标系xOy中,点M（－6,8）,动点p（x,y）满足向量MP*向量OP＝11:求动点p的轨迹方程
2:p是轨迹上任意一点,设向量MP与OP夹角为α,求cosα的取值范围,并求cosα取最大值时点p的坐标

在平面直角坐标系xOy中,点M（－6,8）,动点p（x,y）满足向量MP*向量OP＝11:求动点p的轨迹方程2:p是轨迹上任意一点,设向量MP与OP夹角为α,求cosα的取值范围,并求cosα取最大值时点p的坐标
1
MP=(x,y)-(-6,8)=(x+6,y-8)
MP·OP=(x+6,y-8)·(x,y)
=x(x+6)+y(y-8)
=x^2+y^2+6x-8y=11
即：(x+3)^2+(y-4)^2=36
即P点轨迹是：(x+3)^2+(y-4)^2=36
2
圆(x+3)^2+(y-4)^2=36的圆心N(-3,4)
故：|MN|=|NO|,即N点是OM的中点
PM+PO=2PN,即：|PM|^2+|PO|^2+2PM·PO=4|PN|^2
即：|PM|^2+|PO|^2=4*6^2-22=122
而：|PM|^2+|PO|^2≥2|PM|*|PO|
即：|PM|*|PO|≤61
MP·OP=|PM|*|PO|cos⊙=11
即：cos⊙=11/(|PM|*|PO|)≥11/61
即：cos⊙∈[11/61,1]
即：⊙∈[0,arccos(11/61)]
cos⊙的最大值是1
此时MP与OP同向,即直线MN与圆N的交点,即所求P点
MN的方程：y=-4x/3,圆的方程：
x=-3+6cost,y=4+6sint
即：4+6sint=-4(2cost-1)=4-8cost
即：tant=-4/3,即：sint=4/5,cost=-3/5
或：sint=-4/5,cost=3/5
即：P点(-33/5,44/5)或(3/5,-4/5)