已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0,试求sin²α+sin²β的取值范围.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 19:12:19
已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0,试求sin²α+sin²β的取值范围.

已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0,试求sin²α+sin²β的取值范围.
已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0,试求sin²α+sin²β的取值范围.

已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0,试求sin²α+sin²β的取值范围.
2sin²β=-3sin²α+2sinα
因为0≦sin²β≦1;
所以:0≦-3sin²α+2sinα≦2;
-3sin²α+2sinα≦2是恒成立的,
所以,得:0≦sinα≦2/3;
sin²α+sin²β=sin²α+(-3sin²α+2sinα)/2
=-sin²α/2+sinα
令sinα=t,t属于[0,2/3];
y=-t²/2+t
开口向上,对称轴为t=1,所以在区间[0,2/3]上递增,
最大值为t=2/3时,y=4/9;
最小值为t=0时,y=0;
所以,sin²α+sin²β的取值范围是[0,4/9];
如果不懂,请Hi我,

因为 2(sinb)^2=2sina-3(sina)^2>=0,
所以 0<=sina<=2/3,
则 (sina)^2+(sinb)^2=(sina)^2+[2sina-3(sina)^2]/2
=-1/2*(sina)^2+sina
=-1/2*(sina-1)^2+1/2,
可以看出,当 sina=0时,有最小值0,当sina=2/3时,有最大值4/9,
因此,所求的取值范围是 [0,4/9] 。

2sin^2α+2sin^2β+sin^2α-2sinα=0
2sin^2α+2sin^2β+(sinα-1)^2-1=0
sin²α+sin²β=[1-(sinα-1)^2]/2
-1<=sina<=1
-2<=sina-1<=0
0<=(sinα-1)^2<=4
-3/2<=[1-(sin-1)^2]/2<=1/2
所以[-3/2,1/2]为sin²α+sin²β的取值范围