设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续我知道要把问题归结到证明lim(x趋向于0+)f(x)存在,如何由lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在导出lim(x趋向于0+)f(x)存在,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/24 21:43:58

设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续我知道要把问题归结到证明lim(x趋向于0+)f(x)存在,如何由lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在导出lim(x趋向于0+)f(x)存在,
设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续
我知道要把问题归结到证明lim(x趋向于0+)f(x)存在,如何由lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在导出lim(x趋向于0+)f(x)存在,高手指点

设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续我知道要把问题归结到证明lim(x趋向于0+)f(x)存在,如何由lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在导出lim(x趋向于0+)f(x)存在,
个人认为没必要先证limf(x)存在,将其作为一致连续性的推论更合适(用Cauchy收敛准则).
f'(x)在(0,1]连续,lim(√x)f'(x)存在,可得(√x)f'(x)在(0,1]有界,设有|(√x)f'(x)| < M.
对任意a,b∈(0,1],a < b,在[a,b]上对f(x)与√x使用Cauchy中值定理得:存在c∈(a,b)使
(f(a)-f(b))/(√a-√b) = f'(c)/(1/(2√c)) = 2(√c)f'(c).
于是|f(a)-f(b)| = 2(√c)f'(c)|√a-√b| < 2M|√a-√b|.
又√x在[0,1]连续故一致连续:对任意ε > 0,存在δ > 0使当|a-b| < δ时有|√a-√b| < ε/(2M).
则|a-b| < δ时,|f(a)-f(b)| < 2M|√a-√b| < ε.
即我们证明了f(x)一致连续.
其实微调一下证法,命题的条件可以减弱为f(x)在(0,1]连续,在某个(0,δ)内可导且(√x)f'(x)有界.

设函数f(x)在【0,1】连续,在其开区间可导,且f(0)f(1) 设函数f(x)在[0,无穷)上连续可导,且f(0)=1,|f'(x)|0时,f(x) 设函数f(x)在x=1连续,且f(x)/(x-1)的极限存在,求证f(x)在x=1可导. 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2) 设函数f(x)=|sinx|,则f(x)在x=0处（A）不连续.（B）连续,但不可导.(C)可导,但不连续.（D）可导,且导数也连续. 设函数f(x)在(0,1]内连续可导,且lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在,证明f(x)在(0,1]内一致连续我知道要把问题归结到证明lim(x趋向于0+)f(x)存在,如何由lim(x趋向于0+)(√x)f`(x)存在导出lim(x趋向于0+)f(x)存在, 证明：设f(x)在(-∞,+∞)连续,则函数F(x)=∫(0,1)f(x+t)dt可导,并求F'(x) 设f(x)在(a,b)内连续可导f'(x) 已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明(1)在(0,1)内至少存在一点ξ,使f(ξ)导数=-f(ξ)/ξ 已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使f(ξ)的导数=-f(ξ)/ξRT 设函数f(x)在区间(-a,a)(a>0)内为奇函数且可导,证明:f'(x)是(-a,a)内的偶函数. 设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)*f'(ξ) 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点ξ∈（0,1）,使f(ξ)的导数=-kf(ξ)/ξ 设f(x)在[0,1]内连续递减 0 设函数f(x)在[0,1]上连续,且满足f(x)=x^2-3x∫f(t)dt（上限为1,下限为0）,试求f(x) 可写在纸上拍下来,