椭圆x2/a2+y2/b2=1 两焦点为F1,F2,P是椭圆上一点且向量PF1乘以向量PF2=0,试求椭圆的离心率的取值

椭圆x2/a2+y2/b2=1 两焦点为F1,F2,P是椭圆上一点且向量PF1乘以向量PF2=0,试求椭圆的离心率的取值
椭圆x2/a2+y2/b2=1 两焦点为F1,F2,P是椭圆上一点且向量PF1乘以向量PF2=0,试求椭圆的离心率的取值

椭圆x2/a2+y2/b2=1 两焦点为F1,F2,P是椭圆上一点且向量PF1乘以向量PF2=0,试求椭圆的离心率的取值
设F1（-c,0）,F2（c,0）,其中 c^2=a^2-b^2 ,
另设 P（x,y）是椭圆上任一点,
则 PF1=（-c-x ,-y）,PF2=（c-x,-y）,
所以由 PF1*PF2=(-c-x)(c-x)+(-y)(-y)
=x^2+y^2-c^2
=x^2+b^2(1-x^2/a^2)-c^2
=c^2/a^2*x^2+b^2-c^2
=0
得 x^2=(c^2-b^2)a^2/c^2 ,
由 0

椭圆上一点P与两焦点F1、F2所成的角∠F1PF2的最大值，是当点P位于短轴端点B时取得的，本题中，要使得存在点P，使得∠F1PF2=90°，则只需：
∠F1BF2≥90°，即：
b≤c
b²≤c²
a²－c²≤c²
a²≤2c²
e²=c²/a²≥1...

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椭圆上一点P与两焦点F1、F2所成的角∠F1PF2的最大值，是当点P位于短轴端点B时取得的，本题中，要使得存在点P，使得∠F1PF2=90°，则只需：
∠F1BF2≥90°，即：
b≤c
b²≤c²
a²－c²≤c²
a²≤2c²
e²=c²/a²≥1/2
e≥√2/2
即：
e∈[√2/2，1)

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