作业帮极限运算
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 07:06:20
极限运算
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极限运算
本题非常有意思!
显然,本题不能应用罗比达法则,因为反复求导非常繁琐,这里应用等价无穷小的概念.
易知：
x-sinx x³/6 是当x→0时的等价无穷小（证明略,用罗比达法则就行）
在x∈(0-ε,0+ε)的领域内,其中：ε是非常小的正数,设：
x=arcsint,其中；t∈[-π/2,π/2],于是：
x-sinx = arcsint - t
x³/6 = arcsin³t /6
显然,
arcsint - t arcsin³t /6
将上式中的t换成x,则：
arcsinx - x arcsin³x /6
因此,原式=
(arcsinx - x)(arcsinx + x)
lim(x→0) ------------------------------
x^4
(arcsin³t /6)(arcsinx + x)
=lim(x→0) -------------------------------
x^4
再根据等价无穷小：arcsinx x,因此：
原式=
(x³ /6)(arcsinx + x)
=lim(x→0) -------------------------------
x^4
arcsinx + x
=(1/6)lim(x→0) -------------------------------
x
根据罗比达法则：
原式=
arcsinx + x
=(1/6)lim(x→0) -------------------------------
x
[1/√(1-x²)] + 1
=(1/6)lim(x→0) -------------------------------
1
=(1/6)×2
=1/3
收起