在三角形ABC中,已知角A,B,C,的对边分别是a,b,c.且cosC/cosB=（3a-c）/b,又b=√3则三角形ABC的面积的最大值?

在三角形ABC中,已知角A,B,C,的对边分别是a,b,c.且cosC/cosB=（3a-c）/b,又b=√3则三角形ABC的面积的最大值?
在三角形ABC中,已知角A,B,C,的对边分别是a,b,c.且cosC/cosB=（3a-c）/b,又b=√3
则三角形ABC的面积的最大值?

在三角形ABC中,已知角A,B,C,的对边分别是a,b,c.且cosC/cosB=（3a-c）/b,又b=√3则三角形ABC的面积的最大值?
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以(3a-c)/b=(3sinA-sinC)/sinB
所以cosC/cosB=(3sinA-sinC)/sinB
3sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)
因为sin(B+C)=sin(180-A)=sinA
所以3sinAcosB=sinA
0=(2ac-3)/(2ac)=1-3/(2ac)
3/(2ac)>=2/3
两边乘以ac>0
所以(2/3)ac

由正弦定理得
（3a-c）/b=（3sinA-sinC)/sinB
所以
cosC/cosB=（3sinA-sinC)/sinB
整理得
sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB
sin(B+C)=sinA=3sinAcosB
因为sinA不等于0
所以
cosB=1/3
sinB=（2*根号2）/3<...

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由正弦定理得
（3a-c）/b=（3sinA-sinC)/sinB
所以
cosC/cosB=（3sinA-sinC)/sinB
整理得
sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB
sin(B+C)=sinA=3sinAcosB
因为sinA不等于0
所以
cosB=1/3
sinB=（2*根号2）/3
由余弦定理得
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/3
又因为b=根号3
所以
3（a^2+c^2)=2ac+9
由均值定理得
a^2+c^2>=2ac
所以
2ac+9>=6ac
ac<=9/4
面积S=1/2*acsinB
=（（根号2）/3）*ac
<=（3*根号2）/4
所以面积最大值为（3*根号2）/4

收起

（3a-c）/b=（3sinA-sinC)/sinB
cosCcosB=（3sinA-sinC)/sinB
sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB
sin(B+C)=sinA=3sinAcosB
cosB=1/3 sinB=（2*根号2）/3
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/3
又因为b=根号3
所以

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（3a-c）/b=（3sinA-sinC)/sinB
cosCcosB=（3sinA-sinC)/sinB
sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB
sin(B+C)=sinA=3sinAcosB
cosB=1/3 sinB=（2*根号2）/3
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/3
又因为b=根号3
所以
3（a^2+c^2)=2ac+9
由均值定理得
a^2+c^2>=2ac
所以
2ac+9>=6ac
ac<=9/4
面积S=1/2*acsinB
=（（根号2）/3）*ac
<=（3*根号2）/4
所以面积最大值为（3*根号2）/4

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详情看图片，我写纸上了。