如图,在平面直角坐标系中,点A（0,6）,点B是x轴上的一个动点,连结AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90,得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t,0）.（1）当t=4

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 00:28:26

如图,在平面直角坐标系中,点A（0,6）,点B是x轴上的一个动点,连结AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90,得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t,0）.（1）当t=4
如图,在平面直角坐标系中,点A（0,6）,点B是x轴上的一个动点,连结AB,取AB的中点M,将线段
MB绕着点B按顺时针方向旋转90,得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t,0）.
（1）当t=4时,求直线AB的解析式；
（2）当t>0时,用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在,请说明理由.

题图

（1）当t=4时,B（4,0）,

设直线AB的解析式为y=kx+b．

把A（0,6）,B（4,0）代入得：

解得： ,

∴直线AB的解析式为：y=- x+6．

（2）过点C作CE⊥x轴于点E,

由∠AOB=∠CEB=90°,∠ABO=∠BCE,得△AOB∽△BEC．

∴ = = = ,

∴BE= AO=3,CE= OB= ,

∴点C的坐标为（t+3, ）．

方法一：

S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9,

S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t,

S△BEC= BE•CE= ×3× = t,

∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC

= t2+ t+9-3t- t

= t2+9．

方法二：

∵AB⊥BC,AB=2BC,∴S△ABC= AB•BC=BC2．

在Rt△ABC中,BC2=CE2+BE2= t2+9,

即S△ABC= t2+9．

（3）存在,理由如下：

①当t≥0时,

Ⅰ．若AD=BD,

又∵BD‖y轴,

∴∠OAB=∠ABD,∠BAD=∠ABD,

∴∠OAB=∠BAD,

又∵∠AOB=∠ABC,

∴△ABO∽△ACB,

∴ = = ,

∴ = ,

∴t=3,即B（3,0）．

Ⅱ．若AB=AD．

延长AB与CE交于点G,

又∵BD‖CG,

∴AG=AC,

过点A画AH⊥CG于H．

∴CH=HG= CG,

由△AOB∽△GEB,

得 = ,

∴GE= ．

又∵HE=AO=6,CE= +6= ×（ + ）,

∴t2-24t-36=0,

解得：t=12±6 ．因为t≥0,

所以t=12+6 ,即B（12+6 ,0）．

Ⅲ．由已知条件可知,当0≤t＜12时,∠ADB为钝角,故BD≠AB．

当t≥12时,BD≤CE＜BC＜AB．

∴当t≥0时,不存在BD=AB的情况．

②当-3≤t＜0时,如图,∠DAB是钝角．设AD=AB

过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F．

可求得点C的坐标为（t+3, ）,

∴CF=OE=t+3,AF=6- ,

由BD‖y轴,AB=AD得,

∠BAO=∠ABD,∠FAC=∠BDA,∠ABD=∠ADB,

∴∠BAO=∠FAC,

又∵∠AOB=∠AFC=90°,

∴△AOB∽△AFC,

∴ = ,

∴ = ,∴t2-24t-36=0,

解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0,

所以t=12-6 ,即B（12-6 ,0）．

③当t＜-3时,如图,∠ABD是钝角．设AB=BD,

过点C分别作CE⊥x轴,CF⊥y轴于点E,点F,

可求得点C的坐标为（t+3, ）,

∴CF=-（t+3）,AF=6- ,

∵AB=BD,

∴∠D=∠BAD．

又∵BD‖y轴,

∴∠D=∠CAF,

∴∠BAC=∠CAF．

又∵∠ABC=∠AFC=90°,AC=AC,

∴△ABC≌△AFC,

∴AF=AB,CF=BC,

∴AF=2CF,即6- =-2（t+3）,

解得：t=-8,即B（-8,0）．

综上所述,存在点B使△ABD为等腰三角形,

此时点B坐标为：B1（3,0）,B2（12+6 ,0）,B3（12-6 ,0）,B4（-8,0）．