作业帮设函数f（x）是定义在（0,+ ∞）上的函数,并且满足下面三个条件：1,对任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）2,当x>1时,f（x）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 15:02:35
设函数f（x）是定义在（0,+ ∞）上的函数,并且满足下面三个条件：1,对任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）2,当x>1时,f（x）
设函数f（x）是定义在（0,+ ∞）上的函数,并且满足下面三个条件：
1,对任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）
2,当x>1时,f（x）
设函数f（x）是定义在（0,+ ∞）上的函数,并且满足下面三个条件：1,对任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）2,当x>1时,f（x）
在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=1,可得f(1)=0.
从f（xy）=f（x）+f（y）中令y=x^{n-1}可得
f(x^n)=f(x^{n-1})+f(x)=f(x^{n-2})+2f(x)=f(x^{n-3})+3f(x)=...=nf(x),即
f(x^n)=nf(x);
在上式中令y=x^n,可得f(y^{1/n})=(1/n)f(x).
在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=1/x,可得f(1/x)=-f(x).
从而,f(1/9)=-f(9)=-f(3^2)=-2f(3)=2.
设0
授人以鱼不如授人以渔，教给你个方法：取巧法
f（xy）=f（x）+f（y） 看到它你该想到f的形式必定为类似alnx的形式
当x>1时，f（x）<0 那么这函数应该是-alnx的形式
f(3)=-1 那么这函数就可能是-lnx/ln3
把-lnx/ln3 代入 1、2、3 条件检查均满足，所以这个函数至少有-...
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授人以鱼不如授人以渔，教给你个方法：取巧法
f（xy）=f（x）+f（y） 看到它你该想到f的形式必定为类似alnx的形式
当x>1时，f（x）<0 那么这函数应该是-alnx的形式
f(3)=-1 那么这函数就可能是-lnx/ln3
把-lnx/ln3 代入 1、2、3 条件检查均满足，所以这个函数至少有-lnx/ln3这一种形式
所以：f（1）=0 f（1/9）=2
f（x）+f(2-x)<2 以下结果自己去求，简单！
再交给一个法子：赋值法
f（xy）=f（x）+f（y） 所以f（1）=f（1）+f（1） f（1）=0
f（1/9）=2f（1/3）=2（f（3）+f（1/9））=2f（3）+2f（1/9）=2+2f（1/9） 所以
f（1/9）=2
f（x）+f(2-x)<2 等同于f（x（2-x））
f(x)-f(1)=f(x)<0
以上两式是典型增减性验证，说明函数在x>1的时候为减函数
同样做法证明x<1时也为减函数
提示：x(2-x)<1
以下就自己做吧，简单！
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