作业帮(tanx-sinx)/[(sinx)^3]的极限是?x趋于0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 06:31:02
![(tanx-sinx)/[(sinx)^3]的极限是?x趋于0](/uploads/image/z/2624962-58-2.jpg?t=%28tanx-sinx%29%2F%5B%28sinx%29%5E3%5D%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90%E6%98%AF%3Fx%E8%B6%8B%E4%BA%8E0)
(tanx-sinx)/[(sinx)^3]的极限是?x趋于0
(tanx-sinx)/[(sinx)^3]的极限是?x趋于0
(tanx-sinx)/[(sinx)^3]的极限是?x趋于0
方法一
求极限x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]
=lim(1/cosx-1)/(sinx)^2
=lim(1-cosx)/(sinx)^2cosx
=lim2(sin(x/2))^2/(sinx)^2
=(1/2)lim[(sin(x/2))^2/(x/2)^2][x^2/(sinx)^2]
=1/2
方法二
求极限x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]
x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]=x➔0lim[(1/cos²x)-cosx]/(3sin²xcosx)
=x➔0lim[(1-cos³x)/(3sin²xcos³x)=x➔0lim[(3cos²xsinx)/(6sinxcos⁴x-9sin³xcos²x)]
=x➔0lim[(3cos²x)/(6cos⁴x-9sin²xcos²x)]=3/6=1/2
还有方法三、四……
这道题没那么复杂。 我来个简单解法：
sinx~x所以， （sinx）^2~x^2, tanx= sinx/cosx
就有(tanx-sinx)/[(sinx)^3]=(sinx/cosx-sinx)/[(sinx)^3]=(1/cosx-1)/[(sinx)^2]=(1-cosx)/(x^2cosx)
而x趋于0 cosx=1所以原式等于（1-cosx）/x^2
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这道题没那么复杂。 我来个简单解法：
sinx~x所以， （sinx）^2~x^2, tanx= sinx/cosx
就有(tanx-sinx)/[(sinx)^3]=(sinx/cosx-sinx)/[(sinx)^3]=(1/cosx-1)/[(sinx)^2]=(1-cosx)/(x^2cosx)
而x趋于0 cosx=1所以原式等于（1-cosx）/x^2
利用1-cosx~1/2x^2
所以结果为1/2
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