一道数学几何证明题三角形ABC是非直角三角形,以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和ACD,M是BC中点,证明DE与AM之间的数量关系,(说明理由)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 03:35:19
一道数学几何证明题三角形ABC是非直角三角形,以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和ACD,M是BC中点,证明DE与AM之间的数量关系,(说明理由)

一道数学几何证明题三角形ABC是非直角三角形,以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和ACD,M是BC中点,证明DE与AM之间的数量关系,(说明理由)
一道数学几何证明题
三角形ABC是非直角三角形,以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和ACD,M是BC中点,证明DE与AM之间的数量关系,(说明理由)

一道数学几何证明题三角形ABC是非直角三角形,以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和ACD,M是BC中点,证明DE与AM之间的数量关系,(说明理由)
ED=2AM,理由如下:
延长CA(向内部延长)至点N,使AN=CA,连接BN
∵MC=BM AN=CA
∴AM=½BN(中位线定理)
∵CA=DA AN=CA
∴AN=DA
∵∠BAN+∠NAE=∠BAE=90° ∠EAD+∠NAE=∠NAD=90°
∴∠BAN=∠EAD
则,在△EAD与△BAN中
{AN=DA
{∠BAN=∠EAD
{BA=EA
∴△EAD≌△BAN
∴ED=BN
又∵AM=½BN
∴ED=2AM
另外,其实ED和AM还有相互垂直的位置关系,顺便证明下吧.
证明:
延长AM(向下)至点Q,使MQ=AM=½ED,则AQ=ED,延长MA(向上)交ED于点P,连接BQ,CQ
∵BM=CM MQ=AM
∴四边形BQAC为平行四边形(对角线互相平分)
∴BQ=CA=DA
则,在△QBA与△DAE中
{AQ=ED
{BQ=DA
{AB=AE
∴△QBA≌△DAE
∴∠QAB=∠DEA
∵∠BAE=90°
∴∠QAB+∠EAP=180°-90°=90°
又∵∠QAB=∠DEA
∴∠DEA+∠EAP=90°
∴∠APE=180°-90°=90°
∴PQ(AM)⊥ED

把AE逆时针旋转到与AB重合 得三角形B(E)CD' AD'=CD' BM=CM 有2AM=B(E)D'
即 DE=AM