P为双曲线x^2/16-y^2/20=1右支上一点,MN分别是圆（x+6）^2+y^2=4和（x-6）^2+y^2=1上点,求PM-PN的最大值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 20:25:21

P为双曲线x^2/16-y^2/20=1右支上一点,MN分别是圆（x+6）^2+y^2=4和（x-6）^2+y^2=1上点,求PM-PN的最大值
P为双曲线x^2/16-y^2/20=1右支上一点,MN分别是圆（x+6）^2+y^2=4和（x-6）^2+y^2=1上点,求PM-PN的最大值

P为双曲线x^2/16-y^2/20=1右支上一点,MN分别是圆（x+6）^2+y^2=4和（x-6）^2+y^2=1上点,求PM-PN的最大值
易知双曲线的焦点为F2（6,0）和F1（-6,0）,正好是两个圆的圆心
以F1为圆心的圆的半径为r1=2
以F2为圆心的圆的半径为r2=1
则点PMF1可以构成一个三角形；点PNF2也可以构成一个三角形,这些三角形都符合“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”的定理.
在△MF1P中：
|PM|<|PF1|+r1①
在△PF2N中：
-|PN|<-|PF2|+r2②
由①②相加,得：
|PM|-|PN|<|PF1|-|PF2|+r1+r2
由于|PF1|-|PF2|=2a=8,r1+r2=3
则|PM|-|PN|<11③
当然,这个结果仅仅是在三角形之内
但是,如果当三个点在同一直线上时,它们就无法构成一个三角形,而是构成了一条线段.这个时候就可以取到等号.
当M与PF1共线且M在PF1的左侧时,①的式子就变成了|PM|=|PF1|+r1
同理,当N与PF2共线,且N在PF2的中间时,②的式子就变成了-|PN|=-|PF2|+r2
这样,③就变成了|PM|-|PN|=11
因此11就是最大值了,这是当且仅当3点共线的时候的.
当然,最小值也可以求出来的,不过此题没要求.不过真的要求,同理也可以很快求得.

佩服楼上的精神，不过没有必要解释得这么细吧，呵呵，其实要想目标最大，只要PM尽可能的大，PN尽可能的小，于是直线PM、PN都应是过圆心，就行了

双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点为F1F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,求点P的坐标中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程是y=±x,且双曲线过P(2,1),则双曲线方程为?是不是两解啊双曲线的性质及其应用设双曲线的中心在原点,准线平行与X轴,离心率(根号5)/2,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.已知双曲线X*X-Y*Y/2=1与点P(1,2),过P点作直线L与双曲线双曲线x^2/16-y^2/9=1右支上一点P到右焦点的距离为2,则点P到左准线的距离为? 双曲线x^2/16-y^2/9=1上一点p到一个焦点的距离为12,则p点到另一焦点的距离为? 已知双曲线x^2/9-y^2/16=1上一点P到左焦点距离为10,则P到右焦点的距离为___ 已知双曲线x^2/9 -y^2/16 =1上一点P到焦点F1的距离为8,则P到F2的距离为双曲线(x^2)/9-(y^2)/16=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为? 设p是双曲线(16分之x^2)-(9分之y^2)=1上一点,p到双曲线一个焦点的距离为10,则p到另一个焦点的距离是多少设p是双曲线(16分之x^2)-(9分之y^2)=1上一点,p到双曲线一个焦点的距离为10,则p到另一个焦点的距离是多少?详细答案! 已知双曲线X^2-Y^2/3=1左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA1*PF2最小值已知F1,F2是双曲线x^2 /16 - y^2 /9=1的两个焦点,P为双曲线上一点,已知F1、F2是双曲线x^2 /16 - y^2 /9=1的两个焦点,P为双曲线上一点,且有PF1⊥PF2.求△PF1F2的面积已知双曲线方程为x^2-y^2=1,直线L过（3,1）且与双曲线渐近线平行,则直线l与双曲线交点几已知双曲线渐近线为Y=正负X，且双曲线过点P（4，2根3）求双曲线方程还有道：Y=-X^2+2xz在点A(-1,-3）处切若双曲线x平方-y平方=1的右支上有一点P到直线x=y的距离为根号2,则点p的坐标为. 双曲线x^2-y^2=5上的点P到双曲线两条渐近线距离的乘积为? F1 F2是双曲线x^2/16-y^2/20=1的焦点,P在双曲线上,若|PF1|=9,求|PF2|? 双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若向量PF1×向量PF2=0,则P到x轴的距离双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点为F1.F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则P到x轴的距离