作业帮在三角形ABC中,已知C=30°,求sin²A+sin²B-√3sinAsinB的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 19:13:07
在三角形ABC中,已知C=30°,求sin²A+sin²B-√3sinAsinB的值
在三角形ABC中,已知C=30°,求sin²A+sin²B-√3sinAsinB的值
在三角形ABC中,已知C=30°,求sin²A+sin²B-√3sinAsinB的值
正弦定理得：sin²A=a²sin²C/c² =1/4*a²/ c² sin²B=b²sin²C/c² =1/4*b²/ c²
sin²A+sin²B= 1/4*( a²+ b²)/ c² sinAsinB=1/4ab/c²
余弦定理得：a²+ b²=c²+2abcosC=c²+√3ab
所以 sin²A+sin²B=1/4+√3/4ab/c²
所以 sin²A+sin²B-√3sinAsinB=1/4+√3/4ab/c²-√3*1/4ab/c²=1/4
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=k
令k=1，则a=sinA，b=sinB
所以sin²A+sin²B-√3sinAsinB=a²+b²-√3ab
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，且∠C=30°
所以c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-√3ab
即sin²A+sin²B-√3sinAsinB=c²
∵C=30° ∴A+B=180º-C=150º
∴sin²A+sin²B-√3sinAsinB
=（1-cos2A)/2+(1-cos2B)/2-√3/2[cos(A-B)-cos(A+B)]
=1-1/2(cos2A+cos2B)-√3/2cos(A-B)+√3/2cos(A+B)
=1-cos(A+B)cos(...
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∵C=30° ∴A+B=180º-C=150º
∴sin²A+sin²B-√3sinAsinB
=（1-cos2A)/2+(1-cos2B)/2-√3/2[cos(A-B)-cos(A+B)]
=1-1/2(cos2A+cos2B)-√3/2cos(A-B)+√3/2cos(A+B)
=1-cos(A+B)cos(A-B)-√3/2cos(A-B)+√3/2*cos150º
=1+√3/2cos(A-B)-√3/2cos(A-B)+√3/2*(-√3/2)
=1-3/4
=1/4
用到的重点公式：
降幂公式
sin²α=(1-cos2α)/2
积化和差公式
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β))-cos(α-β)]
和差化积公式
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
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