极坐标系中椭圆C的方程p^2=2\(cosa^2+2sina^2),以极点为原点,极轴为x轴非负半轴,建立直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度,若椭圆的两条弦AB,CD交于Q点,且直线AB与CD的倾斜角互补,求证|QA|*|QB|=|

极坐标系中椭圆C的方程p^2=2\(cosa^2+2sina^2),以极点为原点,极轴为x轴非负半轴,建立直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度,若椭圆的两条弦AB,CD交于Q点,且直线AB与CD的倾斜角互补,求证|QA|*|QB|=|
极坐标系中椭圆C的方程p^2=2\(cosa^2+2sina^2),以极点为原点,极轴为x轴非负半轴,建立直角坐标系,且两
坐标系取相同的单位长度,若椭圆的两条弦AB,CD交于Q点,且直线AB与CD的倾斜角互补,求证|QA|*|QB|=|QC|*|QD|

极坐标系中椭圆C的方程p^2=2\(cosa^2+2sina^2),以极点为原点,极轴为x轴非负半轴,建立直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度,若椭圆的两条弦AB,CD交于Q点,且直线AB与CD的倾斜角互补,求证|QA|*|QB|=|
p^2=2/(cosa^2+2sina^2)的直角坐标方程是
x^/2+y^=1,①
设Q(p,q),AB:y=k(x-p)+q,②
代入①,x^/2+k^(x^-2px+p^)+2kq(x-p)+q^=1,
(1+2k^)x^+(4kq-4k^p)x+2k^p^-4kpq+2q^-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=(4k^p-4kq)/(1+2k^),x1x2=(2k^p^-4kp+2q^-2)/(1+2k^),
∴|QA*|QB|=|(x1-p)(x2-p)|(1+k^)
=|x1x2-p(x1+x2)+p^|(1+k^)
=|2k^p^-4kp+2q^-2-(4k^p^-4kpq)+p^(1+2k^)|(1+k^)/(1+2k^)
=|p^+2q^-2|(1+k^)/(1+2k^),
AB与CD的倾斜角互补,所以以-k代k,得
|QC|*|QD|
=|p^+2q^-2|(1+k^)/(1+2k^)=|QA|*|QB|.