已知x+y=a+b x^3+y^3=a^3+b^3 求证x^2n+1+y^2n+1=a^2n+1+b^2n+1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 00:51:31
已知x+y=a+b x^3+y^3=a^3+b^3 求证x^2n+1+y^2n+1=a^2n+1+b^2n+1

已知x+y=a+b x^3+y^3=a^3+b^3 求证x^2n+1+y^2n+1=a^2n+1+b^2n+1
已知x+y=a+b x^3+y^3=a^3+b^3 求证x^2n+1+y^2n+1=a^2n+1+b^2n+1

已知x+y=a+b x^3+y^3=a^3+b^3 求证x^2n+1+y^2n+1=a^2n+1+b^2n+1
x+y=a+b.(1)
x^3+y^3=a^3+b^3.(2)
(1)式两边立方
(x+y)^3=(a+b)^3
展开
x^3+3yx^2+3xy^2+y^3=a^3+3ba^2+3ab^2+b^3.(3)
(3)-(2),整理,得：
3yx^2+3xy^2＝3ba^2+3ab^2
3xy(x+y)=3ab(a+b)
结合（1）式化简
xy=ab.(4)
由（1)和（4）式
xy是方程t^2-(a+b)t+ab=0的两个实数解
x=a;y=b或x=b,y=a;
代入x^2n+1+y^2n+1,由对称性都可得到
x^2n+1+y^2n+1=a^2n+1+b^2n+1,证毕.
当然本题还可以用数学归纳法求证.

lihai

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