作业帮已知抛物线C:x^2+4x+7/2,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线成为C在点M的法线.(1)若C在点M的法线的斜率为-1/2,求点M的坐标（x0,y0);（2）设 P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 01:59:18
已知抛物线C:x^2+4x+7/2,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线成为C在点M的法线.(1)若C在点M的法线的斜率为-1/2,求点M的坐标（x0,y0);（2）设 P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点
已知抛物线C:x^2+4x+7/2,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线成为C在点M的法线.
(1)若C在点M的法线的斜率为-1/2,求点M的坐标（x0,y0);
（2）设 P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P?若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程；若没有,请说明理由.
p.s.第一问我会做：M(-1,1/2),问第二问怎么做,
已知抛物线C:x^2+4x+7/2,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线成为C在点M的法线.(1)若C在点M的法线的斜率为-1/2,求点M的坐标（x0,y0);（2）设 P(-2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点
抛物线y=x²+4x+7/2,
整理y=(x+2)²-1/2,最低点（-2,-1/2）,
设C上有点Q（m,n）,该点法线y=kx+b,
该点处切线斜率为y′=2x+4=2m+4,
那么法线斜率为k=-1/（2m+4）,
带Q入法线方程,n=km+b,
带P入法线方程,a=-2k+b,
则n-a=km+2k=k（m+2）,
简化n-a=-1/2,其中m≠-2（否则切线斜率为0,法线斜率不存在）,
即n=a-1/2,
带入C中求得m=-2+√a或者-2-√a,其中a≥0,
但m≠-2,故a≠0,即a＞0,
当m=-2+√a,法线为2√ay+x=-2+2a√a；
当m=-2-√a,法线为2√ay-x=2+2a√a；
综上,当a＞0时,
C上存在A点（-2+√a,a-1/2）处的法线2√ay+x=-2+2a√a经过P；
C上存在A点（-2-√a,a-1/2）处的法线2√ay-x=2+2a√a经过P；
当a≤0时,则没有.