设f（x）=1-x²/1+x²,判断函数f（x）在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明

设f（x）=1-x²/1+x²,判断函数f（x）在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明
设f（x）=1-x²/1+x²,判断函数f（x）在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明

设f（x）=1-x²/1+x²,判断函数f（x）在区间[0,+无穷]上的单调性,并用定义证明
f（x）=(1-x²)/(1+x²)
=[2-(1+x²)]/(1+x²)
=2/(1+x²) -1
f(x)在[0,+∞)上是减函数
证明：
任取0≤x10
又(1+x²1)(1+x²2)>0
∴2(x2-x1)(x2+x1)/[(1+x²1)(1+x²2)]>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数

设 0≤x1＜x2
f(x1)-f(x2) =（1-x1^2）/（1+x1^2）-(1-x2^2）/（1+x2^2）
=[(1-x1^2)（1+x2^2）-（1+x1^2）（1-x2^2）]/[（1+x2^2）（1+x1^2）]
对 [(1-x1^2)（1+x2^2）-（1+x1^2）（1-x2^2）] 整理得
2（x^...

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设 0≤x1＜x2
f(x1)-f(x2) =（1-x1^2）/（1+x1^2）-(1-x2^2）/（1+x2^2）
=[(1-x1^2)（1+x2^2）-（1+x1^2）（1-x2^2）]/[（1+x2^2）（1+x1^2）]
对 [(1-x1^2)（1+x2^2）-（1+x1^2）（1-x2^2）] 整理得
2（x^2-x1^2）
因为 0≤x1＜x2
所以 2（x^2-x1^2）＞0
显然 [（1+x2^2）（1+x1^2）]＞0
故 f(x1)-f(x2)＞0 即 f(x1)＞f(x2)

函数f（x）在区间[0，+无穷]上单调递减

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