作业帮数列an中,2a1+2的平方a2+...+2的n次方an=n2+n/2 (1).求an （2).求an的前n项和meiyourenhuida,wuwu
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 18:17:46
数列an中,2a1+2的平方a2+...+2的n次方an=n2+n/2 (1).求an （2).求an的前n项和meiyourenhuida,wuwu
数列an中,2a1+2的平方a2+...+2的n次方an=n2+n/2 (1).求an （2).求an的前n项和
meiyourenhuida,wuwu
数列an中,2a1+2的平方a2+...+2的n次方an=n2+n/2 (1).求an （2).求an的前n项和meiyourenhuida,wuwu
(1) 2a1+2^2*a2+...+2^(n-1)*a(n-1)+2^n*an=n^2+n/2 ①
2a1+2^2*a2+...+2^(n-1)*a(n-1)=(n-1)^2+(n-1)/2 ②
①-②,得
2^n*an=n^2+n/2 -[(n-1)^2+(n-1)/2]=2n-1/2
∴an=2^(-n)*(2n-1/2)
(2) Sn=(2-1/2)/2+(2*2-1/2)/(2^2)+...+(2n-1/2)/(2^n)
=(2/2+2*2/2^2+2*3/2^3+...+2n/2^n)-(1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n+1))
设Pn=(2/2+2*2/2^2+2*3/2^3+...+2n/2^n) (1)
Qn=(1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n+1)) 则Sn=Pn-Qn
对Qn,为等比数列的前n项和,其中,a1=1/4,q=1/2
∴Qn=1/4*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=1/2*(1-(1/2)^n)=1/2-1/2^(n+1)
对Pn,有Pn/2=(2/2^2+2*2/2^3+2*3/2^4+...+2(n-1)/2^n+2n/2^(n+1)) (2)
(1)-(2),得
Pn-Pn/2=Pn/2=(2/2+2/2^2+2/2^3+...+2/2^n+2n/2^(n+1))
=2(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n+n/2^(n+1))
=2(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n+1/2^(n+1)+(n-1)/2^(n+1))
=2(1/2+Qn+(n-1)/2^(n+1))
∴Pn=4(1/2+Qn+(n-1)/2^(n+1))=2+4(n-1)/2^(n+1)+4Qn
∴Sn=Pn-Qn=2+4(n-1)/2^(n+1)+4Qn-Qn
=2+4(n-1)/2^(n+1)+3Qn
=2+4(n-1)/2^(n+1)+3*[1/2-1/2^(n+1)]
=7/2+(4n-1)/2^(n+1)