作业帮向量a=（sinx ,cosx ﹚向量b＝（sinx ,k﹚,向量c＝（﹣2cosx ,sinx－k﹚,g（x﹚＝（a＋b﹚·c,求当k为何值时,g（x﹚的最小值为﹣3／2.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 10:03:19
向量a=（sinx ,cosx ﹚向量b＝（sinx ,k﹚,向量c＝（﹣2cosx ,sinx－k﹚,g（x﹚＝（a＋b﹚·c,求当k为何值时,g（x﹚的最小值为﹣3／2.
向量a=（sinx ,cosx ﹚向量b＝（sinx ,k﹚,向量c＝（﹣2cosx ,sinx－k﹚,g（x﹚＝（a＋b﹚·c,
求当k为何值时,g（x﹚的最小值为﹣3／2.
向量a=（sinx ,cosx ﹚向量b＝（sinx ,k﹚,向量c＝（﹣2cosx ,sinx－k﹚,g（x﹚＝（a＋b﹚·c,求当k为何值时,g（x﹚的最小值为﹣3／2.
向量a=（sinx ,cosx ﹚向量b＝（sinx ,k﹚,向量c＝（﹣2cosx ,sinx－k﹚,g（x﹚＝（a＋b﹚·c,
求当k为何值时,g（x﹚的最小值为﹣3／2.
a+b=(2sinx,cosx+k),c=(-2cosx,sinx-k).
故g(x)=(a+b)•c=(2sinx)(-2cosx)+(cosx+k)(sinx-k)=-4sinxcosx+cosxsinx+k(sinx-cosx)-k²
=-3sinxcosx-k(cosx-sinx)-k²=(3/2)(1-2sinxcosx)-k(cosx-sinx)-3/2-k²
=(3/2)(cosx-sinx)²-k(cosx-sinx)-k²-3/2=(3/2)[(cosx-sinx)²-(2k/3)(cosx-sinx)]-k²-3/2
=(3/2){[(cosx-sinx)-k/3]²-k²/9}-k²-3/2=(3/2)[(cosx-sinx)-k/3]²-k²/6-k²-3/2
=(3/2)[(cosx-sinx)-k/3]²-7k²/6-3/2≧-7k²/6-3/2=-3/2,故得k=0；
当k=0时,g(x)=(3/2)(cosx-sinx)²-3/2=(3/2)[(cosx-sinx)²-1]=(3/2)(-2sinxcosx)
=(3/2)(-sin2x)≧-3/2；g(x)获得最小值-3/2时x=π/4+kπ,k∈Z.
即当k=0时,g(x)的最小值为0.
g（x）=（a＋b﹚·c
=－4sinx·cosx＋sinx·cosx－k·cosx＋k·sinx－k^2
=－3sinx·cosx＋k·(sinx－cosx)－k^2
=3/2·t^2 ＋k·t－k^2－3/2
t∈[－√2，√2] ...
全部展开
g（x）=（a＋b﹚·c
=－4sinx·cosx＋sinx·cosx－k·cosx＋k·sinx－k^2
=－3sinx·cosx＋k·(sinx－cosx)－k^2
=3/2·t^2 ＋k·t－k^2－3/2
t∈[－√2，√2] (注：为方便，这儿令t=sinx－cosx=√2·sin（x－π/4），于是 t 的范围是
[－√2，√2].)
函数g（x）相当于f（t）= 3/2·t^2 ＋k·t－k^2－3/2，t∈[－√2，√2],，对称轴是x=－k/3.
1.当－k /3＜－√2，即k＞3√2时，f(t)在[－√2，√2]单调递增，min{f}=f（－√2）=－k^2－
√2·k＋3/2=－3/2，得知这样的k并不存在。
2.当 －√2 ≤－k /3 ≤ √2，即－3√2 ≤k ≤ 3√2时，f(t)在x=－k/3取最小值，min{f}=f(－k/3)=
－k^2－k/6－3/2=－3/2.符合条件的k值为k=0.
3.当－k /3 ＞ √2，即 k ＜－3√2 时，f(t)在[－√2，√2]单调递减，min{f}=f（√2）=－k^2＋
√2·k＋3/2=－3/2，得知这样的k也不存在.
综上所述，当k=0时，g（x﹚的最小值为﹣3／2.
这种题往往需要我们讨论对称轴的位置，有些人做这种题时就忘记讨论，虽然有可能得出正确结果，但是考试的时候是不会认可的。
收起