作业帮已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3,求25/（4yz+3xy）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3，求25/（4yz+3xz）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值,标题上的打错了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:18:14
已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3,求25/（4yz+3xy）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3，求25/（4yz+3xz）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值,标题上的打错了
已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3,求25/（4yz+3xy）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值
已知正数x,y,z,满足x^2+4y^2+9z^2=3，求25/（4yz+3xz）+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)的最小值,标题上的打错了
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令a=x,b=2y,c=3z
则由题意有 abc均正 且 平方和为3
原式f=5^2/(3分之2bc+ac) + 6^2/(ab+ac) + 7^2/(3分之4bc+ab)
由柯西不等式
f*[(3分之2bc+ac) +(ab+ac) + (3分之4bc+ab)] >= (5+6+7)^2
即f*(2ab+2ac+2bc)>=18^2=324
故f>=324/(2ab+2ac+2bc)
再由柯西不等式知
(ab+bc+ca)^2=324/(2ab+2ac+2bc)>=324/6=54
第二个等号成立条件为a=b=c=1 也即x=1,y=1/2,z=1/3
此时第一个不等式也取等号
最小值为54
根据柯西不等式(a^2+b^2+c^2)(p^2+q^2+r^2)>=(ap+bq+cr)^2有
[25/(4yz+3xz)+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)]*[(4yz+3xz)+(2xy+3xz)+(8yz+2xy)]
>=(5+6+7)^2
=18^2
因为 (x-2y)^2+(2y-3z)^2+(3z-x)^2=2(x^2+4y^2+9z...
全部展开
根据柯西不等式(a^2+b^2+c^2)(p^2+q^2+r^2)>=(ap+bq+cr)^2有
[25/(4yz+3xz)+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)]*[(4yz+3xz)+(2xy+3xz)+(8yz+2xy)]
>=(5+6+7)^2
=18^2
因为 (x-2y)^2+(2y-3z)^2+(3z-x)^2=2(x^2+4y^2+9z^2)-4xy-12yz-6zx)>=0
所以 (12yz+6xz+4xy)<=2(x^2+4y^2+9z^2)=2*3=6
而 (4yz+3xz)+(2xy+3xz)+(8yz+2xy)
=12yz+6xz+4xy
故 25/(4yz+3xy)+36/(2xy+3xz)+49/(8yz+2xy)>=18^2/6=54
收起