已知两个正变量x,y ,满足x+y=4,则使不等式1/x+4/y=>m恒成立的实数m的取值范围是________________

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/20 16:33:34
已知两个正变量x,y ,满足x+y=4,则使不等式1/x+4/y=>m恒成立的实数m的取值范围是________________

已知两个正变量x,y ,满足x+y=4,则使不等式1/x+4/y=>m恒成立的实数m的取值范围是________________
已知两个正变量x,y ,满足x+y=4,则使不等式1/x+4/y=>m恒成立的实数m的取值范围是________________

已知两个正变量x,y ,满足x+y=4,则使不等式1/x+4/y=>m恒成立的实数m的取值范围是________________
因 x+y=4
则 1/x+4/y = (x+y)/(4x) + (x+y)/y
= 1/4 + y/(4x) + x/y +1
= 5/4 + y/(4x) + x/y
由基本不等式,a,b∈R+, a+b ≥2√(ab)
则 y/(4x) + x/y ≥ 2√[y/(4x)]*[x/y] = 1
所以
5/4 + y/(4x) + x/y ≥ 5/4 +1 = 9/4
所以m 的取值范围是 m ≤ 9/4

根据权方和不等式
1/x+4/y≥(1+2)^2/(x+y)=9/4
要使1/x+4/y≥m恒成立 m应小于1/x+4/y的最小值即9/4
所以m≤9/4