JOSEPHUS 好人 求算法思路,最好有代码内容：原始的Josephus问题的描述如下：有n个人围坐在一个圆桌周围,把这n个人依次编号为1,……,n.从编号是1 的人开始报数,数到m个人出列,然后从出列的下

JOSEPHUS 好人 求算法思路,最好有代码内容：原始的Josephus问题的描述如下：有n个人围坐在一个圆桌周围,把这n个人依次编号为1,……,n.从编号是1 的人开始报数,数到m个人出列,然后从出列的下
JOSEPHUS 好人 求算法思路,最好有代码
内容：
原始的Josephus问题的描述如下：有n个人围坐在一个圆桌周围,把这n个人依次编号为1,……,n.从编号是1 的人开始报数,数到m个人出列,然后从出列的下一个人重新开始报数,数到第m个人又出列,……,如此反复直到所有的人全部出列为止.比如当n=6,m=5的时候,出列的顺序依次是5,4,6,2,3,1.现在的问题是：假设有k个好人和k个坏人.好人的编号是1到k,坏人的编号是k+1到2k.我们希望求出m的最小值,使得最先出列的k个人都是坏人.
输入输入文件仅有一行包含一个整数k (0

JOSEPHUS 好人 求算法思路,最好有代码内容：原始的Josephus问题的描述如下：有n个人围坐在一个圆桌周围,把这n个人依次编号为1,……,n.从编号是1 的人开始报数,数到m个人出列,然后从出列的下
》中讲的一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险,必须将一半的人投入海中,其余的人才能幸免于难,于是想了一个办法：30个人围成一圆圈,从第一个人开始依次报数,每数到第九个人就将他扔入大海,如此循环进行直到仅余15个人为止.问怎样排法,才能使每次投入大海的都是非教徒.
*问题分析与算法设计
约瑟夫问题并不难,但求解的方法很多；题目的变化形式也很多.这里给出一种实现方法.
题目中30个人围成一圈,因而启发我们用一个循环的链来表示.可以使用结构数组来构成一个循环链.结构中有两个成员,其一为指向下一个人的指针,以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记,为1表示还在船上.从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数,每数到9时,将结构中的标记改为0,表示该人已被扔下海了.这样循环计数直到有15个人被扔下海为止.
一般形式
约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈,从第一个开始报数,第M个将被杀掉,最后剩下一个,其余人都将被杀掉.例如N=6,M=5,被杀掉的人的序号为5,4,6,2,3.最后剩下1号.
假定在圈子里前K个为好人,后K个为坏人,你的任务是确定这样的最少M,使得所有的坏人在第一个好人之前被杀掉.
C++代码示例:
#include<iostream>
using namespace std;
void main()
{
int n,m,a[101],k,i,j,num; //计数器是从1开始的,所以100个人用101
cout<<"请输入参加游戏的玩家人数(不超过100人):";
cin>>n;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
if(n>100)
{
cout<<"玩家太多,请重新登陆此程序!"<<endl;
return;
}
cout<<"输入游戏中要玩的数字:";
cin>>m;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
a=1;//注意百度百科里不让使用ASCII里的方括号,这里是中文字符集里的方括号,
}
j=0;
k=0;
for(i=1;i<=n+1;i++){
if(a==1){
j=j+a;
if(j==m)
{
j=0;
a=0;
k++;
}
if(k==n){
num=i;
break;
}
}
if(i==n+1)
i=0;
}
cout<<"最后获胜的玩家是第 "<<num<<" 号玩家!"<<endl;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
}

写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法 很巧妙很简单 不过只能推出最后一个出列的人
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的.我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程.因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略.
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数.求胜利者的编号.
我们知道第一个人(编号一定是m mod n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0.
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了.(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n].因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单：
c++
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
pascal
var n,m,i,s:integer;
begin
write('N M =');
read(n,m);
for i:=2 to n do
s:=(s+m) mod i;
writeln('The winner is ',s+1);
end.
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高.算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了.可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率.
约瑟夫问题10e100版(from vijios)
描述 Description
n个人排成一圈.从某个人开始,按顺时针方向依次编号.从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数,报到2的人退出圈子.这样不断循环下去,圈子里的人将不断减少.由于人的个数是有限的,因此最终会剩下一个人.试问最后剩下的人最开始的编号.
输入格式 Input Format
一个正整数n,表示人的个数.输入数据保证数字n不超过100位.
输出格式 Output Format
一个正整数.它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号.
样例输入 Sample Input
9
样例输出 Sample Output
3
时间限制 Time Limitation
各个测试点1s
注释 Hint
样例说明
当n=9时,退出圈子的人的编号依次为：
2 4 6 8 1 5 9 7
最后剩下的人编号为3
初见这道题,可能会想到模拟.可是数据实在太大啦!
我们先拿手来算,可知n分别为1,2,3,4,5,6,7,8...时的结果是1,1,3,1,3,5,7,1...
有如下规律：从1到下一个1为一组,每一组中都是从1开始递增的奇数,且每组元素的个数分别为1,2,4...
这样就好弄了!
大体思路如下：
①read(a)
②b:=1,c:=1
③while c<a do (b:=b*2,c:=b+c)
⑥c:=c-b
⑦x:=a-c
⑧ans:=x*2-1
⑨write(ans)
有了思路,再加上高精度就可以了.我写的代码比较猥琐,因为是先把上面的思路敲进去,再写过程,又把一些简单的过程合到主程序中了,所以有点乱,也有点猥琐.起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~
var a,b,c:array[1..105]of integer;
la,lb,lc,i:integer;
s:string;
procedure incc;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 105 do c:=c+b;
for i:=1 to 104 do if c>9 then
begin
c:=c+c div 10;
c:=c mod 10;
end;
end;
function cxiaoa:boolean;
var i:integer;
begin
cxiaoa:=false;
for i:=105 downto 1 do
if c<a then begin cxiaoa:=true;break;end
else if c>a then break;
end;
procedure doubleb;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 105 do b:=b*2;
for i:=1 to 104 do if b>9 then
begin
b:=b+b div 10;
b:=b mod 10;
end;
end;
procedure decc;
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to 104 do
if c>=b then c:=c-b else
begin
j:=i+1;
while c[j]=0 do inc(j);
while j>i do
begin
c[j]:=c[j]-1;
c[j-1]:=c[j-1]+10;
dec(j);
end;
c:=c-b;
end;
end;
procedure fua;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 104 do
if a>c then a:=a-c else
begin
a:=a-1;
a:=a+10;
a:=a-c;
end;
end;
procedure outit;
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to 105 do a:=a*2;
for i:=1 to 104 do if a>9 then
begin
a:=a+a div 10;
a:=a mod 10;
end;
if a[1]>0 then a[1]:=a[1]-1 else
begin
j:=2;
while a[j]=0 do inc(j);
while j>1 do
begin
a[j]:=a[j]-1;
a[j-1]:=a[j-1]+10;
dec(j);
end;
a[1]:=a[1]-1;
end;
for i:=105 downto 1 do if a>0 then begin j:=i;break;end;
for i:=j downto 1 do write(a);
end;
begin
readln(s);
la:=length(s);
for i:=la downto 1 do a:=ord(s[la+1-i])-ord('0');
b[1]:=1;
c[1]:=1;
while cxiaoa do
begin
doubleb;
incc;
end;
decc;
fua;
outit;
end.
笔算解决约瑟夫问题
在M比较小的时候 ,可以用笔算的方法求解,
M=2
即N个人围成一圈,1,2,1,2的报数,报到2就去死,直到只剩下一个人为止.
当N=2^k的时候,第一个报数的人就是最后一个死的,
对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t,其中t<n/2
于是当有t个人去死的时候,就只剩下2^k个人 ,这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的.这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1
于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的
求出不大于N的最大的2的整数次幂,记为2^k,最后一个去死的人是2(N-2^k)+1
M=3
即N个人围成一圈,1,2,3,1,2,3的报数,报到3就去死,直到只剩下一个人为止.
此时要比M=2时要复杂的多
我们以N=2009为例计算
N=2009,M=3时最后被杀死的人记为F(2009,3),或者可以简单的记为F(2009)
假设现在还剩下n个人,则下一轮将杀死[n/3]个人,[]表示取整,还剩下n-[n/3]个人
设这n个人为a1,a2,...,a(n-1),an
从a1开始报数,一圈之后,剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1),a(n-n mod 3+1),..,an
于是可得：
1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3),下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1)
2、若3|n,则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])个人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人
3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1个人
综合1,2,3可得：
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1,
当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
这种算法需要计算 [log(3/2)2009]次 这个数不大于22,可以用笔算了
于是：
第一圈,将杀死669个人,这一圈最后一个被杀死的人是2007,还剩下1340个人,
第二圈,杀死446人,还剩下894人
第三圈,杀死298人,还剩下596人
第四圈,杀死198人,还剩下398人
第五圈,杀死132人,还剩下266人
第六圈,杀死88人,还剩下178人
第七圈,杀死59人,还剩下119人
第八圈,杀死39人,还剩下80人
第九圈,杀死26人,还剩下54人
第十圈,杀死18人,还剩36人
十一圈,杀死12人,还剩24人
十二圈,杀死8人,还剩16人
十三圈,杀死5人,还剩11人
十四圈,杀死3人,还剩8人
十五圈,杀死2人,还剩6人
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1,
然后逆推回去
F(8)=7 F(11)=7 F(16)=8 f(24)=11 f(36)=16 f(54)=23 f(80)=31 f(119)=43 f(178)=62 f(266)=89 f(398)=130
F(596)=191 F(894)=286 F(1340)=425 F(2009