已知：a,b,c是△ABC三边的长,且c=2a,方程ax2-根号3bx+c=0的两根差的绝对值等于1,求△ABC中最大角的度

已知：a,b,c是△ABC三边的长,且c=2a,方程ax2-根号3bx+c=0的两根差的绝对值等于1,求△ABC中最大角的度
已知：a,b,c是△ABC三边的长,且c=2a,方程ax2-根号3bx+c=0的两根差的绝对值等于1,求△ABC中最大角的度

已知：a,b,c是△ABC三边的长,且c=2a,方程ax2-根号3bx+c=0的两根差的绝对值等于1,求△ABC中最大角的度
设方程aX^2--根号3bX+c=0的两根分别为X1, X2.
则 X1+X2=根号3b/a, X1*X2=c/a.
(X1--X2)的平方＝（X1+X2)的平方－4X1*X2
＝3*b^2/a^2--4c/a
=(3b^2--4ac)/a^2
因为 IX1--X1I=1
所以 (X1--X2)的平方＝1
所以 (3b^2--4ac)/a^2=1 即 3b^2--4ac=a^2
因为 c=2a 所以 3b^2--8a^2=a^2
由此可得 b=根号3*a
这样三角形ABC三边的比是：a:b:c=1:根号3:2
由勾股定理逆定理可知：三角形ABC是直角三角形,其最大角C=90度.

设方程的两根为X1，X2，由韦达定理得
X1+X2=√3b/a
X1X2=c/a
由题意可知（X1-X2）^2=1=(X1+X2)^2-4X1X2=3b^2/a^2-4c/a=1
可得3b^2-4ac=a^2 由c=2a 代入，得b=√3a
可知三角形的三边分别是 a，√3a ，2a，由大角对大边可知角C是最大的角。
cosC=（a...

全部展开

设方程的两根为X1，X2，由韦达定理得
X1+X2=√3b/a
X1X2=c/a
由题意可知（X1-X2）^2=1=(X1+X2)^2-4X1X2=3b^2/a^2-4c/a=1
可得3b^2-4ac=a^2 由c=2a 代入，得b=√3a
可知三角形的三边分别是 a，√3a ，2a，由大角对大边可知角C是最大的角。
cosC=（a^2+b^2-c^2）/(2ab)代入即可求出cosC的值

收起