作业帮如图,梯形ABCD中AD平行BC,AB=CD=BC=4,AD=2,M为BC中点,E,F分别在AB,CD边上,且∠EMF=∠B（1）设BE=x,CF=y,求y关于x的解析式,写出定义域（2）求证：三角形BME相似于EMF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 02:51:52
如图,梯形ABCD中AD平行BC,AB=CD=BC=4,AD=2,M为BC中点,E,F分别在AB,CD边上,且∠EMF=∠B（1）设BE=x,CF=y,求y关于x的解析式,写出定义域（2）求证：三角形BME相似于EMF
如图,梯形ABCD中AD平行BC,AB=CD=BC=4,AD=2,M为BC中点,E,F分别在AB,CD边上,且∠EMF=∠B
（1）设BE=x,CF=y,求y关于x的解析式,写出定义域
（2）求证：三角形BME相似于EMF
如图,梯形ABCD中AD平行BC,AB=CD=BC=4,AD=2,M为BC中点,E,F分别在AB,CD边上,且∠EMF=∠B（1）设BE=x,CF=y,求y关于x的解析式,写出定义域（2）求证：三角形BME相似于EMF
（2006•静安区一模）如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2．点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交边AB于点E,射线MF交边CD于点F,连接EF．
（1）指出图中所有与△BEM相似的三角形,并加以证明；
（2）设BE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域；
（3）如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；梯形；梯形中位线定理．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）由已知∠EMF=∠B,利用外角的性质证明∠CMF=∠BEM,由等腰三角形的性质,得∠B=∠C,证明△BME∽△CFM；再利用相似比及∠EMF=∠B,证明△BME∽△MEF；
（2）根据△CMF∽△BEM得BE
BM
＝
CM
CF
,然后代入关于x和y的关系式,由（3）可求出BE的最小值,再根据AB=4即可求出BE的最大长度为4．
（3）当△BME是以BM为腰的等腰三角形时,①若BE=BM=2,同理CM=CF=2,可知E、F分别是AB、DC的中点,由梯形中位线定理求解,②若BM=ME=2,过M作MH⊥BE于H,过A作AG⊥BC于G,利用相似比求解．
（1）△CMF∽△BEM,△MEF∽△BEM,
证明如下：
在梯形ABCD中,
∵AD∥BC,AB=CD,∴∠B=∠C,
又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM,∠EMF=∠B,
∴∠FMC=∠BEM,
∴△CMF∽△BEM,
∴EM
FM
＝
BE
CM
,
又∵CM=BM,
∵∠EMF=∠B,∴△MEF∽△BEM,
（2）∵△CMF∽△BEM,∴
BE
BM
＝
CM
CF
,
∵BM=CM=2,∴
x
2
＝
2
y
,
∴所求函数的解析式为y＝
4
x
,定义域为1≤x≤4,
（3）（i）当BM=BE=2时,
由△BEM∽△CMF,得CF=MC=2,
而AB=CD=4,∴AE=BE=CF=DF=2,
∴EF为梯形的中位线,
∴EF=
1
2
×(2+4)＝3,
（ii）当BM=EM=2时,作EG⊥BC,垂足为G,
设BE=x,由题意,得BG=
x
4
,GM=2−
x
4
,
∵BE2-BG2=EM2-GM2,
即x2−
x2
16
＝4−(2−
x
4
)2,
∴x=1或x=0（不符合题意,舍去）,
∴BE=1,
由△BEM∽△MEF,得
EF
EM
＝
EM
BE
,即
EF
2
＝
2
1
,
∴EF=4,
综上所述,△BEM是以BM为腰的等腰三角形时,EF的长为3或4．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰梯形的性质．关键是等腰梯形的两底角相等,利用外角的性质得出角的相等关系,证明三角形相似．