在一个等差数列中,Sn=m,Sm=n,m>n,则Sm+n=?

在一个等差数列中,Sn=m,Sm=n,m>n,则Sm+n=?
在一个等差数列中,Sn=m,Sm=n,m>n,则Sm+n=?

在一个等差数列中,Sn=m,Sm=n,m>n,则Sm+n=?
首先,你求助于我本题,得感谢你对我的信任,其实我已经很久没有在知道中回答问题了,今天进百度时发现有人求助,于是就来看了一下,由于长时间没有做数学题了,手也生了,所以,下面给出的过程供你参考.
可利用等差数列前n项和的一个性质：就是一定是一个二次式,而且常系数项为0,即
前n项和Sn=An^2+Bn,其中A,B为常数,接下来就比较好办了,
Sm+n=A(m+n)^2+B(m+n)…………（1）
Sm=Am^2+Bm=n………………（2）
Sn=An^2+Bn=m………………（3）
（2）-（3）得
A(m+n)(m-n)+B(m-n)=n-m
即
[A(m+n)+B+1](m-n)=0 即[A(m+n)+B](m-n)=-(m+n)
Sm+n=A(m+n)^2+B(m+n)=[A(m+n)+B](m-n)=-(m+n)

Sm+n=(Sn+Sm)*(m-n+1)/2
=(m+n)(m-n+1)/2
=(m²-n²+m+n)/2

Sm+n=A(m+n)^2+B(m+n)…………（1）
Sm=Am^2+Bm=n………………（2）
Sn=An^2+Bn=m………………（3）
（2）-（3）得
A(m+n)(m-n)+B(m-n)=n-m(m>n)
所以，A(m+n)+B=-1
两边同乘（m+n)，即
A(m+n)(m+n)+B(m+n)=S(m+n)=-(m+n)

全部展开

Sm+n=A(m+n)^2+B(m+n)…………（1）
Sm=Am^2+Bm=n………………（2）
Sn=An^2+Bn=m………………（3）
（2）-（3）得
A(m+n)(m-n)+B(m-n)=n-m(m>n)
所以，A(m+n)+B=-1
两边同乘（m+n)，即
A(m+n)(m+n)+B(m+n)=S(m+n)=-(m+n)

或者
（1）展开式A(m^2+n^2)+B(m+n)+2Amn=S(m+n)
对比（2）（3）可以知道
（2）+（3）=A(m^2+n^2)+B(m+n)=m+n
所以关键是求A
（2）*n-（3）*m
得 Am^2*n-An^2*m=n^2-m^2
A*nm(m-n)=(n+m)*(n-m)，所以A= -（n+m)/(nm)
则S（m+n)=（2）+（3）+2A*mn=m+n-2(n+m)=-(m+n)

收起